Teorema
Sea un abierto simplemente conexo, sea una curva simple cerrada orientada positivamente contenida en y sea un punto en la región delimitada por Entonces admite derivadas de todos los órdenes en y además
Demostración.
Esta identidad se deduce de la fórmula integral de Cauchy derivando bajo el símbolo integral.
Fórmula integral de Cauchy
Teorema.
Sea un abierto simplemente conexo, sea una curva cerrada contenida en y sea Si es una función holomorfa entonces
Idea de la demostración.
Consideramos la función auxiliar definida para cada mediante la expresión
si y
Observamos que es holomorfa en y continua en
Se sigue del teorema integral de Cauchy que
de donde se deduce que
como queríamos demostrar.