Otra vez ha sucedido, se ha vuelto a conseguir lo “imposible”.
Creo que es justo dedicarle un tiempo a entender qué es eso de un cristal en el tiempo, su importancia teórica y su realización experimental.
Esta, como tantas otras cosas en física, era una de las imposibilidades que jamás resolveríamos y sin embargo ya la hemos realizado.
Técnicamente lo que se ha conseguido es diseñar un cristal temporal.
Dicho así lo mismo no te dice mucho. Tal vez en esta entrada encontremos la manera de disfrutar de la sorpresa que nos hemos llevado todos.
Simetrías
¿Qué entendemos por simetría? Para poder hablar con propiedad de una simetría hemos de identificar dos protagonistas:
1.- Por un lado tenemos un objeto u objetos con los que vamos a trabajar.
2.- Por otro lado tenemos ciertas transformaciones que pueden actuar sobre dichos objetos.
Diremos que tenemos una simetría cuando no podemos distinguir la situación inicial de un objeto con una situación final tras aplicarle una de las transformaciones que hayamos elegido utilizar.
Pongamos un ejemplo para poner las cosas más claras.
1.- Nuestro objeto es una esfera
2.- Nuestras transformaciones son rotaciones de cualquier ángulo alrededor de cualquier dirección.
Ahora, vamos a someter a nuestro objeto a una transformación.
La cosa queda así:
Como observamos claramente, la situación inicial y la situación final son indistinguibles. Así podemos decir que la esfera, nuestro objeto, presenta simetría de rotación alrededor de cualquier dirección para cualquier ángulo rotado.
¿Otro ejemplo? Venga, vamos a poner otro ejemplo para ver algún matiz de esto de la simetría. Para ello tomaremos como protagonistas a estos elementos:
1.- El objeto será un cuadrado.
2.- Rotaciones en el plano en cualquier dirección y cualquier ángulo.
En este caso, una situación genérica podría ser la siguiente:
Ahora está claro que el cuadrado no presenta simetría para las transformaciones elegidas.
Pero, ¿tiene alguna simetría?
Claro, lo único que tendremos que hacer es buscar qué transformaciones dejan al cuadrado idéntico antes y después de aplicarlas.
En este caso el tema es simple, basta con seleccionar rotaciones de 90º alrededor de su centro para ver que la situación inicial y final son idénticas y por tanto se presenta una simetría.
Así encontramos una simetría para este objeto.
Por lo tanto, es importante tener en mente que para definir una simetría uno ha de tener claro qué sistema tiene entre manos y qué transformaciones aplica sobre el mismo.
Rotura de la simetría
La simetría se puede romper y se puede romper de variadas maneras.
Antes de entrar en las distintas formas de romper una simetría vamos a concentrarnos en entender eso de la rotura.
Volvamos a nuestra esfera:
Como hemos visto este bicho es simétrico frente a rotaciones en cualquier ángulo alrededor de cualquier dirección.
¿Cómo podemos romper esa simetría? La cosa es bastante simple.
Basta con dibujar dos puntos diametralmente opuestos en la esfera.
Ahora, si realizamos una rotación de cualquier ángulo en cualquier dirección podremos distinguir la situación inicial de la situación final.
Hemos roto la simetría original de la esfera.
Pero a poco que lo pensemos la rotura no es completa, aún queda un vestigio de la simetría original. Rotaciones de cualquier ángulo alrededor de la dirección que marca el eje que pasa por los dos puntos seleccionados son imposibles de diferenciar de la situación inicial:
Otras dos ideas importantes: Por un lado tenemos que las simetrías se pueden romper y por otro que las roturas pueden dejar simetrías residuales.
Simetrías en física
Lo que hemos hablado hasta ahora de simetrías se ha ejemplificado con figuras geométricas. Esta es la parte simple y visual. Pero lo que nos atañe aquí son las simetrías de las leyes físicas. Y eso no es simple ni visual.
La idea es exactamente la misma. Sepas o no matemáticas, estoy seguro de que sabrás que hay leyes físicas, la segunda ley de Newton, la ley de la gravitación universal, la ley de Coulomb, etc.
Estas son las expresiones de las regularidades que encontramos en el comportamiento de la naturaleza que expresamos de forma matemática.
¿Qué significa una simetría para una ley física?
Bueno, pues siguiendo el razonamiento de la sección anterior vamos a procurar hacer un completo paralelismo. Como ya sabemos la mar de bien, para definir una simetría hemos de definir los objetos que vamos a estudiar y las transformaciones a las que lo vamos a someter.
En nuestro caso tendremos:
1.- Los objetos son LAS LEYES FÍSICAS.
2.- Las transformaciones serán las distintas coordenadas que elegimos para estudiar los sistemas, las distintas orientaciones de los ejes coordenados, las distintas elecciones de los orígenes de los sistemas de coordenadas (dónde ponemos el cero en las coordenadas elegidas) y las distintas elecciones del origen de tiempo (dónde queremos empezar a contar el tiempo.
Diremos que las leyes físicas presentan simetrías si distintas elecciones de sistemas de coordenadas, orígenes de los mismos, orientaciones de los ejes y orígenes del tiempo hacen que la forma matemática de la ley física en cuestión sea idéntica para todas las posibles elecciones anteriores.
A poco que lo pienses deducirás que la relatividad está ahí incluída, da igual quién defina una ley física, la ley ha de ser la misma para todos (de otro modo la física sería un desmadre de mucho cuidado).
Eso se traduce, en lo que nos ocupa ahora, en que la física no ha de ser sensible a dónde pongamos nuestro origen para el tiempo o el espacio, por tanto la física será igual aquí que en Londres que en Marte que más lejos y que da igual a la hora que la estudies que siempre será la misma.
Tampoco va a cambiar por la orientación de tu laboratorio (dirección de los ejes).
¿Por qué es importante esto de la simetría para las leyes físicas?
La respuesta viene de la mano de la señora Emmy Noether.
Resulta que por cada simetría que encontremos en las leyes físicas aparece una o varias cantidades conservadas. Este es un resultado puramente matemático cuya influencia en la física no puede ser minusvalorada.
De hecho, la física tal y como la entendemos hoy día no podría existir sin los resultados de la gran Noether.
Pero no solo eso, también se deriva de los teoremas que esta gran matemática del siglo XX nos proporcionó las existencias de las interacciones a causa de simetrías no tan evidentes como las espaciotemporales que hemos descrito antes. Así que este es un tema que debes de conocer bien para poder apreciar toda la potencia de la física.
Rotura de simetría inducida y espontánea
Vamos a hablar de dos tipos de rotura de simetría que son importantes en física. Por un lado tenemos la rotura de simetría inducida que es aquella que se produce porque introducimos algún elemento que no verifica la simetría inicial del sistema. Esta es por tanto una rotura de la ley física que describe un fenómeno.
Por otro lado, tenemos la rotura espontánea de la simetría y se puede describir como aquella situación en la que la ley física es simétrica pero el estado del sistema que se rige por esa ley no verifica esa simetría.
Lo sé, es un poco lío, pero es fácil ver la diferencia con la ayuda de ejemplos.
Rotura inducida de la simetría
Supongamos que tenemos un conjunto de átomos.
Los átomos están compuestos por un núcleo que tiene carga positiva porque contiene protones y electrones, de carga negativa, pululando por ahí.
Para simplificar vamos a utilizar el átomo de Hidrógeno y con vuestro permiso voy a representarlo como un sistema planetario.
La ley física que permite esta configuración es la ley de Coulomb que establece que cargas de distinto signo se atraen de forma proporcional al producto del valor de las mismas y que la intensidad de la interacción disminuye con el cuadrado de la distancia que las separa.
¿Veis alguna simetría? Basta notar que esa fuerza solo depende del valor de la distancia entre dos cargas. Por lo tanto tiene simetría esférica ya que dos cargas separadas la misma distancia en cualquier orientación sentirán la misma fuerza.
En todos los puntos sobre la esfera se siente la misma intensidad de la interacción. Podemos decir, aunque el argumento real es mucho más entretenido, matemáticamente hablando, que esta interacción tiene simetría esférica.
Como sabemos el electrón (electrones) no están en realidad en órbitas alrededor del protón (núcleo) en el hidrógeno (en un átomo).
Estos están definidos por niveles de energía, es decir, la energía que tiene el sistema puede tener solo un conjunto discreto de valores.
Esto es lo que explica que los átomos emitan o absorban solo determinados colores o longitudes de onda de la luz. Son aquellos colores, o en general longitudes de onda, que tienen fotones de la energía necesaria para subir o bajar de un nivel determinado a otro.
Estos espectros, cosas que se miden en los laboratorios, son una consecuencia en última instancia de la simetría esférica que presenta la ley física que gobierna todo el cotarro.
Pero ocurre que si introducimos los átomos de hidrógeno en un campo magnético hay líneas del espectro que se dividen en tres.
Eso en principio no debería de pasar y sin embargo pasa:
El rollo está en que los electrones tienen una característica denominada espín que es una cualidad cuántica que les permite sentir la presencia de un campo magnético aún cuando estén en reposo. Es como si tuvieran un pequeño imán asociado. El espín se representa por una flecha.
La punta de la flecha representa polo norte y la base de la flecha polo sur de un pequeño imán (esta es una licencia bestial que me acabo de tomar, espero que tus insultos no sean demasiado intensos).
La flecha se puede orientar como le de la gana en el espacio:
Esta característica, en primera instancia, no da contribución energética a los niveles de energía del hidrógeno (ni de ningún átomo).
Pero si metemos un campo magnético ocurre algo simpático.
El campo magnético selecciona una dirección en el espacio y nuestro espín, nuestra flecha, solo tiene tres opciones. Si está perpendicular a dicha dirección no se entera de que el campo está ahí y si no está perpendicular se orientará en dicha dirección y solo hay dos posibilidades, apuntar en la misma dirección que el campo magnético o apuntar en la dirección opuesta.
Esas dos situaciones aumentan o disminuyen la energía del sistema respecto a la situación en la que no hay campo magnético y por lo tanto aparecen dos líneas que no están en ausencia del mismo. Esto es lo que se llama efecto Zeeman y es un bonito caso de consecuencia de una rotura de la simetría.
Es evidente que es la introducción del campo magnético lo que induce la rotura de la simetría. En ese caso la fórmula que rige el comportamiento de un sistema ya no es solo la ley de Coulomb que tiene simetría esférica sino que aparece un término que selecciona una determinada dirección, la correspondiente a la dirección del campo magnético. Hemos roto la simetría a las bravas.
Rotura espontánea de la simetría
Esta puede ser un poco más difícil de entender en un primer vistazo. Hay una sutilidad interesante. Cuando una simetría se rompe espontáneamente significa que las leyes que rigen el comportamiento de un sistema tienen alguna simetría pero que el estado en el que se encuentra el sistema no la respeta.
Miremos esta foto:
Sí, es una circunferencia dibujada en un papel con un puntito en el centro. Eso es bastante simétrico.
Ahora ponemos un lápiz sobre su punta en el centro y observamos la situación:
Ese lápiz está sujeto a las leyes de la gravedad así que en principio podría caer en cualquier punto de la circunferencia no hay preferencia por ninguno. Las cosas de la simetría.
Así que esperamos a que si soltamos el lápiz se quede vertical ya que no se “decidirá” por ningún punto de la circunferencia a la que caer.
Si efectuamos la experiencia encontramos con sorpresa que el lápiz sí cae y se queda apuntando a un punto de la circunferencia.
En las imágenes se ven dos tiradas. Prueba en casa.
Ese es el estado del lápiz, apunta a un punto de la circunferencia.
Eso rompe la simetría inicial porque ese punto ahora es distinto de todos los demás cuando inicialmente era indistinguible. Las leyes de la física no han cambiado, no hay nuevos términos, el lápiz cae espontáneamente debido a perturbaciones espontáneas y su estado final rompe la simetría inicial del problema aunque las leyes físicas continúan siendo simétricas.
(Trabalenguas simétrico).
A recordad en este caso:
1.- Las leyes de la física tienen la simetría que tienen.
2.- El sistema se decanta por un estado que no es simétrico bajo dicha simetría.
Simetrías, roturas espontáneas, transiciones de fase
Vamos a relacionar esto de las roturas espontáneas de la simetría con las transiciones de fase. Todos estamos acostumbrados a pensar en transiciones de fase como la transición del líquido a sólido que se da en el agua, por poner un ejemplo cotidiano, al bajar la temperatura por debajo de un determinado umbral (para una presión dada).
En las condiciones usuales el agua sufre la transición de fase que comentamos a 0ºC.
Pero, lo importante aquí es darnos cuenta que una transición de fase es el cambio brusco de un sistema al cambiar el valor de un parámetro que controla su evolución. En el caso de la congelación del agua el factor clave, para una presión dada, es la temperatura a la que tengamos el agua.
Pero los cambios o transiciones de fase no suelen ser tan evidentes como el pasar de líquido a sólido. En ocasiones, la cosa es más sutil.
Por ejemplo, Pierre Curie y otros científicos descubrieron que algunas transiciones de fase ocurrían por una rotura espontánea de la simetría de un sistema. ¿Podemos ver esto con un ejemplo pictórico? Pues sí, la razón es que hay algunos materiales que al bajar la temperatura por debajo de una dada, la temperatura de Curie, se convierten en imanes.
La razón estriba en la existencia esta del espín. Imaginemos un sólido, como todo, está constituido por átomos y esos átomos pueden presentar un espín. Así que podemos entender el sistema como un conjunto de flechitas que indican propiedades magnéticas. En determinados materiales estas flechas se disponen en todas las direcciones del espacio de forma aleatoria.
El sistema presenta una distribución con simetría esférica de flechas de espín. Cada una apuntará para una dirección y sentido. Pero ocurre que si bajamos la temperatura llegamos a un determinado valor de la misma, la temperatura de Curie, todas las flechas se alinean debido a que esa configuración presenta menos energía que la otra anterior.
El efecto es que todos los “polos norte/sur” de los átomos constituyentes, sus espines, se alinean en la misma dirección y sentido y por lo tanto el trozo de material que estemos considerando se convierte en un imán.
Eso lo hace el sistema de forma espontánea y como imagináis no hay cambio de las leyes físicas que rigen su comportamiento, simplemente ocurre este cambio. Entonces tenemos una transición de fase, pasamos de tener un material no magnético a un material magnético, dos fases distintas, por efecto de bajar su temperatura. Todo un efecto de una rotura espontánea de la simetría, pasamos de tener una simetría esférica a tener una dirección privilegiada de forma espontánea.
Rotura de simetría, transiciones de fase y cristales
Suponte que te encojo hasta niveles moleculares y te pertrecho perfectamente para estar dentro de una cubeta de agua líquida.
Por suponer que no quede.
Una cubeta de agua a nivel molecular tiene que ser algo interesante, moléculas de agua moviéndose en todas direcciones con un amplísimo rango de velocidades (el promedio de la velocidad está relacionado con la temperatura a la que se encuentre).
Si tú te mueve por el interior, te trasladas en el espacio, siempre verás lo mismo, moléculas que vienen y van desde todas las direcciones.
No podrás distinguir en qué punto te encuentras (recuerda que tu tamaño hace que la cubeta te parezca infinita). Estás en un sistema que tiene simetría de traslación espacial.
Si ahora bajo la temperatura del agua, llegará un momento en que se produzca una transición de fase y se transforme en un sólido.
Eso implica que las moléculas se localizan en distintas posiciones, una red cristalina, definidas.
Lo que tú verás es que de forma espontánea aparece una asimetría traslacional en el espacio. De repente, las moléculas ser organizan estableciendo enlaces que las fijan a distintas posiciones y ya no hay una distribución homogénea de moléculas con una distribución homogénea de velocidades.
Estás dentro de una cosa ordenada en el espacio. Se ha roto la simetría de forma espontánea.
Esto es posible porque el estado cristalino tiene menor energía que el estado donde las moléculas se mueven con mayor libertad y con una amplia distribución de velocidades posibles.
Así al bajar la temperatura el sistema espontáneamente selecciona unas direcciones para ordenarse aunque las leyes de la física sean las mismas para todas las direcciones.
La simetría no se ha roto del todo. Tras un rato explorando encuentras que en realidad hay un residuo de simetría ya que hay determinadas direcciones en las que el patrón se repite.
Lo que ha ocurrido es que la simetría ahora no es continua, válida para todos los puntos, sino que hay unas determinadas celdas que se repiten periódicamente. Se ha conservado una simetría discreta en distintas direcciones.
Tenemos un cristal, una estructura ordenada producida por una rotura espontánea de la simetría, con una simetría traslacional discreta en algunas direcciones.
¿Y en el tiempo es posible?
Lo que hemos visto es una rotura espontánea de una simetría espacial que conduce a la aparición de una ordenación cristalina en los sistemas. Pero también sabemos que hay simetría temporal, uno puede poner el origen de tiempos donde quiera para estudiar la física y las leyes han de ser insensibles a ese hecho, han de presentar esa simetría.
¿Es posible que esa simetría se rompa de forma espontánea y se cree un sistema que repita un cierto patrón temporal? Es decir, ¿pueden existir los cristales en el tiempo?
En 2012 se propuso por parte de Frank Wilczek, premio Nobel en física por sus estudios de la libertad asintótica en teorías gauge, que estos cristales en el tiempo deberían de existir:
La idea no dejó de ser controvertida por dos motivos:
a) La simetría de traslación temporal, el poder elegir el origen de tiempos donde queramos, está asociado con la conservación de algo llamado energía. Así que en primer lugar parece que si rompemos esta simetría se va al carajo la conservación de la energía. Eso en física se considera un poco inapropiado.
b) Para tener un cristal en el tiempo lo que necesitamos es que un sistema presente un movimiento periódico en su estado de más baja energía. Eso implica que en el estado de mínima energía el sistema desarrolla un movimiento sin aporte de energía, de hecho, ese movimiento sería debido a que el sistema está en su mínima energía posible. Pero si tenemos algo que se mueve indefinidamente tenemos un móvil perpetuo y esa es otra cosa que en física nos pone nerviosos.
Estas dos críticas se solventan del siguiente modo:
a) Si la rotura de simetría es espontánea sabemos que es el estado en el que cae el sistema el que no presenta la simetría que sí tienen las leyes físicas. Así que aunque nuestro estado del sistema no presente invariancia bajo traslaciones temporales las leyes de la física que controlan su comportamiento sí la tienen con lo que la energía y su conservación están a salvo.
b) Se ha demostrado que este tipo de cristales no se pueden dar en sistemas en equilibrio térmico. Eso implica que hay una salida a todo esto, como ahora veremos. Pero también se ha demostrado que el movimiento que presentaría un cristal en el tiempo no se puede emplear para obtener energía del sistema. Así que no hay problema con tener un móvil perpetuo de estas características ya que no podemos obtener energía del mismo que sería el punto que incomodaría a la termodinámica.
Un ejemplo chorra
Imaginemos que tenemos un sistema que cuando le bajamos la temperatura por debajo de una dada o le extraemos la energía hasta cierto valor de repente aparece una corriente en él que se mueve de forma espontánea.
Supongamos que tenemos un anillo y que le bajamos la temperatura y de repente vemos en un determinado punto de temperatura que aparece una corriente de algo localizado en el anillo:
Ese movimiento rompe la simetría de traslación temporal. Ahora podemos identificar un instante de tiempo por la posición que ocupa la corriente localizada en el anillo. Pero este movimiento se repite, así que podemos identificar saltos de intervalos de tiempo en el que todo se repite. Eso es como tener una estructura cristalina solo que en lugar de ser espacial ahora es temporal. Esta es, por supuesto, una simplificación brutal de lo que realmente es un cristal de tiempo, pero la idea es más o menos así con más matemáticas de por medio.
Cómo no, esta cuestión fue considerada un bonito juego teórico pero que no sería posible realizarlo en el laboratorio.
Y entonces la gente experimental…
Seguro que ya sabéis como acaba esta historia. Sí, con esto:
¿Qué han hecho esta gente? Han cogido una red de iones y los han enfriado con maldad hasta dejarlos en su estado fundamental. En las condiciones del experimento estos iones están ahí tranquilos en su red y nada evoluciona. Punto pelota, ni cristal en el tiempo ni nada de nada, solo un bonito estado estacionario en su estado de mínima energía.
Pero como el ser humano es de naturaleza traviesa le enchufaron un láser a uno de los átomos de la cadena. El láser estaba ajustado para afectar al espín de ese ión, a su flecha, y el efecto es que lo cambiaba de sentido, de arriba a abajo de abajo a arriba. Si pulsas el láser obtienes un cambio de orientación, un flipeo (de to flip, en inglés) en el espín de ese ión.
¿Y eso qué importa? La cuestión es que en las condiciones del experimento al flipear un espín de un ión, el espín del ión adyacente también flipea y luego el siguiente, y el siguiente, y así. La frecuencia de flipeo coincide con la frecuencia con la que el láser flipea el espín del primer ión de la cadena.
Cosa natural por otra parte.
El caso es que dejan evolucionar el sistema tranquilamente y encuentran un hecho sorprendente. El sistema empieza a flipear espines con una periodicidad doble que la del pulso láser que ha iniciado el juego. ¿Cómo? Sí, resulta que en las condiciones del experimento se da lugar una rotura del la simetría de traslación temporal y encuentran que se mantiene una cadena de flipeos de espines que va sola y con una frecuencia o periodo propios. Han encontrado un cristal de tiempo.
Para asegurar el tiro modificaron el periodo de pulsación de láser que empieza el experimento y vieron como al dejar evolucionar el sistema siempre aparecía el movimiento de flipeo espontáneo con el mismo periodo.
Independientemente del periodo láser que lo inicie. Eso es señal de que se está encontrando algo que es intrínseco y espontáneo en el sistema.
Los cristales en el tiempo ya están con nosotros, que estén en los aparatos cotidianos en un futuro es solo cuestión de tiempo, cristalino o no.
Nos seguimos leyendo…
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