En “Quantum Solution to the Arrow-of-Time Dilemma,” Phys. Rev. Lett. 103: 080401, 21 Aug. 2009 [gratis en ArXiv], se afirma haber resuelto
la paradoja de Loschmidt:
¿cómo surge la flecha del tiempo termodinámica en un
universo cuya física es reversible?
¿Cómo surge la segunda ley de la termodinámica
que afirma que la entropía siempre crece?
La definición clásica de la entropía no permite resolver la paradoja.
Se utiliza la definición de entropía (cuántica) de von Neumann en la que el observador juega un importante papel.
La ”memoria” del observador recuerda solamente la física compatible con la segunda ley de la termodinámica.
Las violaciones de dicha ley se pueden dar pero son “olvidadas” por el observador.
Las ideas recuerdan a las de Roger Penrose y otros que ven en el proceso de medida cuántica la irreversibilidad que conduce a la segunda ley de la termodinámica.
En estas ocasiones siempre surge la pregunta ¿qué contar?
Como siempre, la respuesta es “algo más técnico.”
“I show that entropy in a system can both increase and decrease (as time reversal dictates), but that all entropy-decreasing transformations cannot leave any trace of their having happened. Since no information on them exists, this is indistinguishable from the situation in which such transformations do not happen at all: ‘‘The past exists only insofar as it is recorded in the present.’’ Then the second law is forcefully valid: the only physical evolutions we see in our past, and which can then be studied, are those where entropy has not decreased.” [Palabra de Lorenzo Maccone].
Hay que empezar recordando la definición de entropía de von Neumann (recordatorio de cualquier curso de mecánica estadística cuántica).
Hay varias formulaciones equivalentes entre sí de la mecánica cuántica, cada una de las cuales tiene sus ventajas en ciertos problemas y sus inconvenientes en otros.
Una de ellas es la basada en matrices de densidad que nos permite estudiar sistemas microscópicos y mesoscópicos con el mismo formalismo, es decir, nos permite modelar fácilmente un conjunto de sistemas cuánticos en interacción.
La matriz de densidad cumple versión cuántica de la ecuación de Liouville de la mecánica clásica estadística.
La ecuación de Liouville-von Neumann es ![\mbox{i}\,\hbar\,\partial\rho/\partial t = [H,\rho]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_sRVDY_8ZVYlEaH8z_6N4wUMpcX9EjPdYVk6KnjsWHWIhU9ipwTUAfYwJBP3dQoRnjnvumTx2GAtN0dX4E1RBZEL9oNs9CcTknHytuBys3MueYdcxkxpHoKIG_heXmx04BKkEA8UtQvNvqpBLw2hrSvNV1SOyOj7dpNeTLalH8uGKW7syuS2zlmfehR9sFXaYhAUM1h-nmNX4BM3hWrSJvp4xkRwfB0ZjGx3ZaiHrUS4A=s0-d "\mbox{i}\,\hbar\,\partial\rho/\partial t = [H,\rho]")
![S(\rho)\equiv-\mbox{Tr}[\rho\,\log_2\rho]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_s2FgfhneYUoUesZbVdut8yktNrIeDVvPaNvB3ZX7T6SGpJgOGwLe7mfOj-xXrUPw7fpp4XrHdoBQ1MY7r_uIEa8MhtrR5lEWJg1CLSjESYsYX1JUzKCUEuv65Rr_nwm5hFcRC6Lkf0VTx7OWN71W-i7Ch1k4aUF7X3mSYjMQNmWDSBxJMRHFdcn6-oSlX6uQuCyKp4zLz7hhWbUcSQPARo-K8=s0-d "S(\rho)\equiv-\mbox{Tr}[\rho\,\log_2\rho]")
Por supuesto, hay sistemas en los que solo es aplicable la entropía cuántica.
“Entropy can decrease, but its decrease is accompanied by an erasure of any memory that the entropy-decreasing transformation has occurred.” [Palabra de Lorenzo Maccone].
Cualquier interacción entre dos sistemas 
la información mutua cuántica en la misma cantidad de bits,
salvo que dicha entropía se acumule en cierto reservorio 
La información mutua cuántica mide la cantidad de información que correlaciona dos sistemas cuánticos, sean 
El resultado fundamental del artículo es que la reducción de entropía implica
un efecto de borrado de la memoria del estado inicial del sistema,
se escribe mediante la fórmula matemática
donde
es la diferencia de entropía entre el estado final (en el momento 
y el estado inicial para el sistema 
No entraré en los detalles de la demostración (muy sencilla, por otra parte).
La interpretación de esta fórmula es que el efecto de borrado de la memoria
proviene de la pérdida de información mutua cuántica.
La memoria de un suceso es un sistema físico 
El borrado de la memoria de este suceso se produce al eliminarse
la información cuántica mutua 
es una cota superior de la información mutua clásica
(omito la demostración, también sencilla).
La interpretación de la ecuación (1) es que, si queremos disminuir la entropía
de los sistemas
es necesario reducir la información mutua cuántica entre los sistemas
En la figura que abre esta entrada, un experimento mental,
el sistema
es una partícula de espín 1/2:
sus entropía finales se reducen en un bit a costa de borrar dos bits
de información mutua cuántica 
La ecuación (1) nos dice que tomando como sistema
Alicia, y su laboratorio, y considerando un tiempo intermedio en el que
es mayor que en los momentos inicial y final, debido a alguna transformación
que incremente la entropía sin que sea absorbida por el reservorio 
ésta se puede reducir mediante una transformación que decremente
la entropía a costa de reducir la información mutua entre el observador
Incluso si la entropía 
que decrece la entropía debe factorizar (separar) el observador
y el sistema
La memoria de tal evento (que decrece la entropía) será parte
de las correlaciones que se destruirán.
Un resultado directo de la regla de Born aplicada al entrelazamiento
entre observador y sistema observado
(un proceso mecánico cuántico irreversible).
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