La fórmula de Stirling para el factorial

Coeficiente Stirling

¿Cuánto vale 100!, el factorial de 100? Para saberlo lo más fácil es utilizar la fórmula de Stirling,

donde a la derecha aparecen las tres primeras aproximaciones de Stirling, las que usan a0,a1,a2...

Como vemos, en la práctica, se obtiene una buena aproximación utilizando sólo el término principal de la fórmula de Stirling.

¿Hay alguna fórmula que nos permita calcular los coeficientes de Stirling?

Una fórmula explícita es la siguiente

Los interesados en una demostración de esta fórmula pueden recurrir al artículo de 5 páginas de Gergö Nemes, “On the coefficients of the asymptotic expansion of n!,” ArXiv 15 Mar 2010, que aplica un teorema de Howard a la fórmula de los coeficientes de Stirling demostrada por Brassesco y Méndez.

¿Cómo podemos evaluar estos coeficientes en Mathematica? Obviamente, a nadie se le ocurre escribir la fórmula de Nemes, digo yo. Lo más fácil es pedirle a Mathematica que evalúe directamente la fórmula de Stirling.

fact[n_,k_]:=Series[ n!,{n,Infinity,k}] //Normal

coef[k_]:=Coefficient[ fact[n,k]/fact[n,0],n,-k]

Table[coef[k],{k,0,8}]

(Mathematic)