¿ Cómo es ... ?

En esta la entrada trataremos dos temas diferentes.

El primero, los sorprendentes resultados de unas curiosas divisiones;

y el segundo, la muy conocida igualdad entre el 0,9 periódico y el número 1.

Las curiosas divisiones

Existen infinidad de fracciones o divisiones cuyo resultado tiene gran importancia matemática como puede ser número pi, el número áureo fi, nuestro inseparable número e, etc; pero ahora nos interesan cálculos cuyos resultados numéricos no son tan conocidos pero sí que son, cuanto menos, divertidos.

Ponemos como ejemplo, divisiones como las siguientes:

1000 / 9801 = 0, 1 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12…
100 / 891 = 0, 11 22 33 44 55 66 77 89 00 11 22…
1000 / 8991 = 0, 111 222 333 444 555 666 777 889 000…
10000 / 89991 = 0, 1111 2222 3333 4444 5555 6666…
100000 / 899991 = 0, 0 11111 22222 33333 44444…
1 / 499 = 0, 002 004 008 016 032 064 128… (las potencias de 2)
1 / 27 = 0, 037 037 037 037 037…
1 / 37 = 0, 027 027 027 027 027…

Calculado todas las divisiones con más dígitos de precisión se aprecia un efecto aún más curioso: en vez de seguir la ya fascinante secuencia de 0 al 9, cuando las cifras decimales llegan a 8 parecen “desparecer” dígitos: en realidad es como si el 8 y el 9 se pusieran de acuerdo para fusionarse.

En 1000/9801, por ejemplo, el periodo recorre todos los números de tipo 00 01 02 03 04, etc. hasta 97 pero luego salta al 99 (falta el 98).

Otros hacen un salto, como de 777 a 889 y luego a 000 (faltan 888 y 999), para repetirse hasta el infinito. Tan matemáticamente exacto como simpático.

Memorable igualdad

La extraña igualdad entre un número periódico puro (0,9999999…), que repite de forma infinita todas sus cifras decimales, y un número entero (1), no parece ser muy lógica.

Sin embargo ambos números están tan, tan cerca, que incluso se puede demostrar que son el mismo número!!

Comenzamos con esta ecuación:
0,999… = x

Si multiplicamos por 10 a ambos lados:
9,999… = 10x

Restando la primera ecuación de la segunda (9,999… – 0,999… = 10x – x) nos queda:
9 = 9x

Despejando la x:
x = 1

Y por último, sustituyendo x en la primera igualdad, llegamos a la solución:
0,999… = 1

Por tanto queda demostrada la extraña igualdad.

Sin embargo, existe otra demostración del curioso hecho, más sencilla aún,

que se puede ver en una sola línea:

1 = 1/3 + 1/3 + 1/3 = 0,333… + 0,333… +0,333… = 0,999…