La paradoja de Zenón

Revivamos hoy un problema planteado por el filósofo griego Zenón de Elea en torno al 450 a. de N.E. también llamada la paradoja del corredor.

Supongamos un corredor que ha de recorrer una determinada distancia: por ejemplo 1 km, y supongamos que comienza en el punto marcado con 1km, y su meta se encuentra en el punto de 0 km.

Pero para alcanzar la meta, nuestro pobre corredor debe de llegar primero al punto de 1/2 km, después al de 1/4 km, 

después al de 1/8 km, …

Por lo tanto, nuestro corredor deberá recorrer infinitas longitudes,

 cada vez más pequeñas, pero éstas siguen siendo infinitas.

Luego… si el pobrecito tiene que recorrer infinitas distancias, resulta “lógico” pensar que tendrá que invertir también un tiempo infinito en recorrerlas (ya que tiene que invertir un tiempo en recorrer cada una de ellas). 

Así que nuestro corredor (por eso venía lo de pobrecito),

 nunca llegará a la meta.

¿Dónde está el fallo?

Primero tengo que puntualizar que en la época de Zenón, todavía no se tenía ninguna idea clara sobre los números o series infinitas, aunque ya se comenzaba a pensar que éstas existían. 

Por esto mismo, que salieran estas paradojas era lógico, y también que no se tuviera muy claro cómo resolverlas (ya que intuitivamente podemos afirmar que cualquier persona que se ponga a recorrer 1 km a una velocidad constate y no le pase nada por el camino, llegará en un tiempo finito, y no demasiado largo).

Analizando lo que sabemos, nos encontramos con que el corredor debe recorrer infinitas distancias, dadas por: 1/2 + 1/4 + 1/8 + … 

y se puede ver que esta serie converge (su suma es igual a) a 1 km,

 ya que por el razonamiento que hemos llevado, cuando el corredor recorra todas estas distancias, habrá recorrido 1 km.

Y el paso que elimina la paradoja viene aquí. 

Para recorrer estas distancias, el corredor debe invertir un tiempo dado. 

Suponiendo que va a velocidad constante tal que necesita un tiempo T para recorrer 0.5 km, el tiempo total que necesitará para recorrer

 esta distancia es:

que se puede escribir como:

y donde resulta obvio que la última parte es una suma igual a la que teníamos en la distancia, y que si recordamos, sumaba 1.

Por tanto, el tiempo que invierte nuestro corredor es 2T. 

Una cantidad finita, y de acuerdo con nuestra intuición

 (si tarda T segundos en recorrer 0.5 km, tardará 2T en recorrer 1 km).

La limitación que tenían los griegos es que al no entender todavía los números infinitos, no tenían claro que una suma de infinitos números pudiera dar un resultado finito.