En topología diferencial se descubrió que el espacio cuatridimensional euclídeo admite estructuras diferenciables exóticas que no son equivalentes a la convencional; se sabe que existen las exóticas pero su descripción explícita en coordenadas es muy complicada, salvo bajo ciertas restricciones.
Hay un número infinito no numerable de estructuras diferenciables en R4, pero sólo existe una en Rn, para n≠4.
Esta propiedad de un universo con cuatro dimensiones lo distingue de un universo con cualquier otro número de dimensiones posibles.
Por ello, algunos físicos han tratado de utilizar las estructuras diferenciables exóticas en física como una manera de “elegir”
un espaciotiempo de cuatro dimensiones entre todos los posibles.
Las supercuerdas en la teoría de cuerdas se mueven en un espaciotiempo plano (de Minkowski) de 10 D (9 dimensiones espaciales y una temporal), sea M10.
En un espaciotiempo plano 4D (sea M4), como en el que vivimos,
la versión cuántica de la teoría presenta inconsistencias (probabilidades negativas y violaciones de la invarianza relativista).
¿Por qué solo observamos 4 dimensiones?
Afirmar que las otras 6 dimensiones extra son muy pequeñas y compactas no nos explica el porqué; lo habitual es descomponer
M10 = M4 × V6, donde V6 es una variedad de Calabi-Yau.
Pero ¿es la única opción posible?
Si descomponemos M10 = R4 × W6, donde R4 es una versión exótica
del espaciotiempo plano euclidiano y W6 no tiene por qué
ser de Calabi-Yau.
Este “exotismo” es una idea realmente sugerente que todavía está
en fase germinal pero que parece que capta adeptos en el contexto de la teoría de cuerdas.
En mi opinión, este asunto dará bastante que hablar en los próximos años, opinión que comparto con Javier, “String theory in exotic R^4,” DiY quantum gravity, February 17, 2011; Lubos Motl también se ha hecho eco de ellos en “Are pathological mathematical structures important in physics?,” The Reference Frame, February 17, 2011.
Los artículos técnicos son Torsten Asselmeyer-Maluga, Jerzy Krol, “Exotic smooth R^4, geometry of string backgrounds and quantum D-branes,” ArXiv, 14 Jun 2010; “Exotic smooth R^4 and certain configurations of NS and D branes in string theory,” ArXiv, 17 Jan 2011; y “Quantum D-branes and exotic smooth R^4,” ArXiv, 16 Feb 2011.
Les recuerdo, aunque estos temas no son fáciles de explicar.
Una estructura diferenciable exótica en una variedad topológica
es una que no es difeomorfa (equivalente) a la estructura diferenciable natural o estándar en dicha variedad.
Milnor (1956) encontró los primeros ejemplos en las esferas S7
(de 7 dimensiones); una esfera (no exótica) S7 hereda su estructura diferenciable natural del espacio euclídeo R8 (de 8 dimensiones)
en el que reside y las esferas exóticas tienen una que no es equivalente a esta última .
Edward Witten, como no, fue el primer físico en utilizar las esferas exóticas en física, en 1985, aunque su uso más famoso es en su artículo de 1988 sobre la teoría topológica de campos cuánticos
(topological quantum field theory).
Desde entonces muchos otros físicos las hemos utilizado, incluso en teoría de cuerdas, pero el gran objetivo sigue aún lejano.
En este sentido estos nuevos trabajos de Asselmeyer-Maluga y Krol
me parece que renuevan el interés en estos asuntos.
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