jueves, 21 de abril de 2011

1/89, las sucesiones tipo Fibonacci y 1/69



S=\frac{F_0}{10}+\frac{F_1}{10^2}+\frac{F_2}{10^3}+\cdots = \frac{1}{10} \sum_{n=0}^\infty \frac{F_n}{10^{n}} = \frac{1}{89},
donde F_n son los números de Fibonacci, 0,1,1,2,3,5,8,13,\ldots,
es un problema.
¡Y hay gente que se sorprende!
Es el encanto de la matemática.
¡Imaginemos que el resultado fuera 1/69 en lugar de 1/89!
Sería como más “comercial,” digo yo, no sé.
Es curioso.
La sucesión de Fibonacci cumple F_n=a\,F_{n-1}+b\,F_{n-2}, con a=1, b=1,
y F_0=0, F_1=1.
El polinomio característico de esta relación de recurrencia
(o ecuación en diferencias finitas homogénea)

es p(r)=r^2-a\,r-b,
cuyas raíces nos dan directamente la solución general

r_{\pm} = \frac{ a \pm \sqrt{ a^2+4\,b}}{2}, F_n=\frac{1}{\sqrt{a^2+4\,b}}\,\left( r_+^n + r_-^n\right),
con lo que la suma que queremos calcular es una simple
 suma de series de potencias

S=\frac{1}{10\,\sqrt{a^2+4\,b}}\,\left( \sum_{n=0}^\infty \left(\frac{r_+}{10}\right)^n + \sum_{n=0}^\infty \left(\frac{r_-}{10}\right)^n\right),

que cuando converge nos da trivialmente
S=\frac{1}{10\,\sqrt{a^2+4\,b}}\,\left( \frac{1}{1-{r_+}/10} - \frac{1}{1-{r_-}/10} \right)
S =\frac{1}{\sqrt{a^2+4\,b}}\,\left(\frac{r_{+}-r_{-}}{(10-r_{+})\,(10-r_{-})}\right)=\frac{1}{(10-r_{+})\,(10-r_{-})}.
En el caso de la sucesión de Fibonacci, con a=1, b=1,,
obtenemos
r_{\pm}=(1\pm \sqrt{5})/2, y S=1/89.
¿Cómo podemos obtener 1/69?
Hay muchas maneras, por ejemplo,
con a=1, b=21, o con a=3, b=1.
Pero lo más curioso es que la sucesión tipo Fibonacci F_n=10\,F_{n-1}-69\,F_{n-2}
 da S=1/69.
¿Curioso o no?
Así es la matemática.
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