lunes, 1 de agosto de 2011

Constantes Fundamentales...


Lo que hace la ciencia posible, entre otras muchas cosas, es la reproductibilidad de los experimentos.  
Si yo preparo un sistema en unas condiciones dadas y obtengo una medida de resultado de valor A (en unas unidades dadas), si repito el experimento en las misma condiciones he de obtener la misma medida A. 
 Y no importa que lo haga en otro laboratorio o a otra hora.
Y para eso necesitamos cosas que sean constantes, referencias, y de todos es conocido que existen eso que se ha dado en llamar constantes fundamentales de la física. 
 ¿Pero qué son estas constantes? ¿Qué significan? 
¿De donde proceden? ¿Se pueden calcular?
Antes de iniciar la discusión sobre constantes hemos de pararnos a introducir el concepto de la dimensión de una magnitud física.
Interludio: Magnitudes y Dimensiones.
Para hablar de medidas necesariamente hemos de hablar de sistemas de unidades y más precisamente de dimensiones.  
Esta palabra, dimensión, es empleada en distintos contextos.  
Hablamos que nuestro espacio tiene dimensión tres o cuatro dependiendo del número de coordenadas que necesitemos para localizar un punto.
Por ejemplo, es evidente que nuestro universo se describe bien en cuatro dimensiones.  
Pongamos un ejemplo, supongamos que quedamos con alguien en New York en la azotea del Empire State Building. 
 Para quedar con esa persona hemos de darle la localización (latitud y longitud y la altura) y además hemos de precisar una hora.  
Entonces necesitamos cuatro números para identificar el punto de encuentro, por eso hablamos de que nuestro universo tiene 4 dimensiones.
Sin embargo, cuando hablamos de las medidas físicas también hablamos de sus dimensiones. 
 Pero en esta ocasión dimensión hace referencia al carácter de la magnitud que estamos midiendo.
Podemos decir que queremos medir la distancia de un punto A a un punto B y eso nos dará el valor x, elegimos una unidad, el metro, la pulgada, la yarda, o lo que sea.  
Las unidades son simplemente convenios que se toman por definición. 
 Sin embargo, todas ellas hacen referencia a una característica en concreto y a eso lo llamamos dimensión de la magnitud.
Las dimensiones son longitud (representada por L), tiempo (representado por T), masa (representada por M), carga (representada por Q), etc.
 (Iremos introduciendo más dimensiones cuando sea necesario).  
Y estas características son fundamentales para la física.  
Si tengo una ecuación ambos términos de la misma han de tener las mismas dimensiones (es lo que se llama homogeneidad dimensional) para que tengan sentido. 
 Esto es una extrapolación de el dicho “no se pueden mezclar churras con merinas” o “no se pueden sumar peras con naranjas”.  
Y lo que es más, cada término de una fórmula tiene que tener las mismas dimensiones.
Pongamos unos cuantos ejemplos:
1.- Si alguien nos pregunta cuál es la dimensión del concepto fuerza tendremos que estudiar dicho concepto.  Para representar que estamos hablando de las dimensiones de las magnitudes pondremos a las mismas entre barras (|magnitud|= dimensión de la magnitud).
Ahora estudiemos la dimensión de la fuerza:
a) Sabemos que F=ma (gracias a Newton).
b) Si nos preguntamos las dimensiones de la fuerza |F| tendrá que ser igual a las dimensiones del producto |ma|:
|F|=|ma|
c) Lo que es lo mismo, la fuerza tendrá las dimensiones correspondientes al producto de la masa por la aceleración:
|F|=|m||a|
d) La masa obviamente tiene dimensión de masa M.  
La aceleración ¿qué dimensiones tiene?  
Pues para descubrirlo nos vamos a su definición o pensamos en qué unidades se mide, y la aceleración se mide en m/s2 es decir, tiene dimensiones de LT^{-2}  (recordemos que x^{-n}=\frac{1}{x^n}).
e) Por lo tanto las dimensiones de la fuerza serán:
 |F|=|m||a|=MLT^{-2}
Pongamos otro ejemplo:
2.- La energía cinética tiene una fórmula dada por E=\frac{1}{2}mv^2
a) No es difícil ver ahora que las dimensiones de la energía serán:
|E|=|\frac{1}{2}||m||v^2|
b) El 1/2 es simplemente un número, no tiene dimensiones, se dice entonces que  es adimensional.  La masa tiene dimensiones de masa M, y la velocidad tiene dimensiones de LT^{-1} por lo tanto su cuadrado tendrá dimensiones de L^2T^{-2}.  Así pues para la energía tenemos:
|E|=|\frac{1}{2}|m||v^2|=ML^2T^{-2}
3.- Ahora descubramos qué dimensiones tienen ciertas constantes:
La velocidad de la luz c, es una velocidad por tanto |c|=LT^{-1}.
La constante de la gravitación universal G es un pelín más complicada, pero haciendo uso de la homogeneidad dimensional podremos deducir la misma.
La constante de la gravitación universal aparece en la fórmula de Newton:
F=-G\dfrac{m_1m_2}{r^2}
Es decir, la fuerza gravitatoria entre dos masas es directamente proporcional al producto de las mismas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que las separa.
a) Dado que las fórmulas tienen que ser dimensionalmente homogéneas, se tiene que verificar:
|F|=-|G|\dfrac{|m_1||m_2|}{|r^2|}
b) ¿Qué dimensiones conocemos aquí?
La fuerza:  Ya hemos calculado sus dimensiones y son: MLT^{-2}
Las masas:  Pues tienen cada una dimensión de masa, M.
La distancia:  En este caso tiene dimensión de longitud, L.  Y su cuadrado será por tanto L^{2}.
c) Así podemos decir que las dimensiones de la fórmula anterior son:
MLT^{-2} =|G|\dfrac{M\cdot M}{L^2}
d) O escrito de otra forma:
MLT^{-2}=|G|M^2L^{-2}
e) Si ahora despejamos |G|:
|G|=MLT^{-2}\cdot M^{-2}L^{2}=\dfrac{ML}{T^2}\dfrac{L^2}{M^2}
lo que nos da:
|G|=\dfrac{L^3}{MT^2}=M^{-1}L^{3}T^{-2}
(si buscáis el valor de la constante veréis que en el sistema internacional se mide en m3/kg s2 )

¿Qué es una constante fundamental en física?

Pues a la vista de lo dicho, véase el ejemplo con la constante de la gravitación de Newton, una constante fundamental es simplemente un factor de proporcionalidad entre dos magnitudes físicas. 
 En el anterior ejemplo, sin la G ambos miembros de la fórmula no tendrían las mismas dimensiones y por tanto no sería aceptable.
Pero no es sólo eso, las distintas constantes fundamentales de la física juegan distintos papeles en términos conceptuales. 
Es decir, implican diferentes conceptos y para entender esto es útil conocer la clasificación de Lévy-Leblond, que nos ayudará a entender mejor los distintos roles de las diferentes constantes:
Clasificación de Lévy-Leblond:
Esta clasificación tiene cinco categorías, denominadas tipos A, B, C, D y E.
Tipo A:  Propiedades particulares de los sistemas físicos.
Por ejemplo: En esta categoría entran las masas y cargas de las partículas.
Tipo B:  Características comunes de fenómenos físicos.
Por ejemplo:  En esta categoría entra la G, ya que esta constante está presente en todos los fenómenos gravitatorios regidos por la ley de Newton de la gravitación.
Tipo C:  Constantes Universales.  Que son aquellas que entran a formar parte de una teoría física universal (es decir aquellas que sus principios son tales que el resto de teorías tienen que ser consistentes con ellas.  Por ejemplo, relatividad especial y mecánica cuántica)
Por ejemplo:  La velocidad de la luz en el vacío se identifica como constante y además constante para todo observador (inercial) independiente de su velocidad.  No importa lo rápido que te muevas que si te llega luz siempre medirás que su velocidad es c.
Tipo D:  Constantes invisibles. (Aquellas que son adimensionales y además valen 1).
Tipo E:  Constantes nulas. (Aquellas que valen cero o son muy próximas a cero).
Por ejemplo:  La masa del fotón.
 Historia de c.
Si decimos que c es la velocidad de la luz, pues inicialmente esta constante es del tipo A.  La luz tiene esa velocidad (en el vacío).  
Así que es una particularidad de dicho “objeto” físico.
Pero luego se vio que la velocidad de la luz se podía relacionar con las propiedades electromagnéticas.  Dichas propiedades son la permitividad eléctrica, \epsilon (que mide lo fácil o difícil que es crear un campo eléctrico en un determinado medio, en términos energéticos claro) y la permeabilidad magnética, \mu (que mide lo mismo, si un material admite o no un campo magnético en su interior).  Si uno identifica la permitividad eléctrica y permeabilidad magnética del vacío, \epsilon_0 y \mu_o respectivamente, la velocidad de la luz es simplemente:
c=\dfrac{1}{\sqrt{\epsilon_0\mu_0}}
Es decir, que la propagación de la luz está en correspondencia con las característica electromagnéticas del vacío.  Y tanto \epsilon_0 como \mu_o controlan todos los fenómenos electromagnéticos en tal medio, el vacío.  
Por tanto c pasa a ser de tipo B.
Pero la historia sigue, y al final se descubre que la velocidad de la luz es constante para todo observador que se mueve en el vacío en línea recta y velocidad constante. 
 Además c es una referencia de comportamientos físicos, lo que quiere decir que si nos movemos a velocidades cercanas a c veremos efectos relativistas y sinos movemos a velocidades muy inferiores no notaremos tales efectos.  (Técnicamente la velocidad de la luz entra en la definición de la métrica del espaciotiempo en relatividad, y dicha métrica es única para todo el espaciotiempo. 
 Además entra en las transformaciones de Lorentz que son las transformaciones que dejan invariante tal métrica).  Y más allá de eso se revela que ningún cuerpo con masa puede alcanzar dicha velocidad en el vacío.  Por tanto es una constante de tipo C o Universal.

¿Se pueden calcular las constantes universales?

Pues no, por ahora, las constantes universales no son calculables, sus valores se conocen por medirlos una y otra vez en distintos fenómenos físicos. 
 Las constantes de Planck, la velocidad de la luz, G, etc, no son “predichas” por ninguna teoría, son parámetros que hay que fijar experimentalmente.
Esto no quiere decir que no se tengan que calcular, lo que quiere decir es que por el momento no hay ninguna teoría que permita fijar dichos valores de manera teórica. 
 Y eso es un desafío para los teóricos, parece ser que en cuerdas todas estas constantes aparecerían de manera natural, fijando sus valores por el comportamiento de la teoría, pero por el momento no hay nada definitivo a este respecto, si bien es cierto que en teoría de cuerdas únicamente hay un parámetro libre (al contrario de lo que pasa en las teorías actuales que hay muchísimos parámetros fijados experimentalmente).

Constantes adimensionales.

Existen ciertas constantes que no tienen dimensiones. 
 Sus valores son dados como simples números sin unidades. 
 El ejemplo típico es la constante de estructura fina, \alpha:
\alpha=\dfrac{1}{4\pi}\dfrac{e^2}{\epsilon_0\hbar c}
Esta constante surge porque la agrupación que hemos denominado \alpha está presente en todas las fórmulas del electromagnetismo cuántico (lo que se conoce como electrodinámica cuántica, QED por su siglas en inglés Quantum ElectroDynamics). 
Dejamos al lector interesado el que compruebe que esta agrupación es realmente adimensional siguiendo los pasos que hemos indicado antes y buscando las unidades de la carga del electrón, la permitividad eléctrica, la constante de Planck (reducida) y la velocidad de la luz. 
 El valor de \alpha es aproximadamente 1/137 .
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