¿Aproximaciones físicas a la hipótesis de Riemann?

¿Aproximaciones físicas a la hipótesis de Riemann?

 otro callejón sin salida. 

La función zeta de Riemann es tan sencilla (transalgebraicamente hablando) que si modela un sistema físico éste tiene que ser tan sencillo que ya habría sido descubierto y la hipótesis de Riemann habría sido probada.

 Como no se ha dado lo segundo, lo primero no implica ningún tipo de progreso. 

Aún así, y como yo soy físico, me gustaría recordar que la función zeta de Riemann aparece en muchos problemas de física, desde la mecánica clásica a la física de la materia condensada. 

A los interesados les recomiendo el interesante artículo de Daniel Schumayer, David A. W. Hutchinson, “Physics of the Riemann Hypothesis,” Review of Modern Physics 83: 307-330, 2011 [gratis en ArXiv].

¿Estás interesado en la hipótesis de Riemann? 

 Deberías empezar leyendo a Aleksandar Ivić, “On some reasons for doubting the Riemann hypothesis,” ArXiv, 11 Nov 2003 ["creer o no creer en la validez de la hipótesis de Riemann, that's the question!"]. 

Y ni se te ocurra leer a Enrico Bombieri en su descripción del problema del Milenio (“The Riemann hypothesis,” porque dicen que la mejor manera de provocar que toques algo es poner un cartel que diga que no lo toques). 

¿Qué deberías leer entonces? 

 E. Landau, 2Handbuch der Lehre von der Verteilung der Primzahlen,” 2nd Edition, Chelsea, New York, 1953, y a H. M. Edwards, “Riemann’s Zeta Function,” Dover Publications, New York, 2001.

La hipótesis de Riemann

Los números primos  son los números naturales  que no son divisibles salvo por ellos mismos y por la unidad.

 Hay infinitos primos, pero los detalles de su distribución aún están ocultos. Euler demostró con 1737 que

lo que indica que los números primos son muy frecuentes entre los números naturales; recuerda que

Euler fue más allá y demostró usando el teorema fundamental de la aritmética que

expresión matemática bien definida para . La función  no tiene ceros reales para .

Bernhard Riemann aplicó las herramientas del análisis en variable compleja a la función zeta y la extendió a todos los números complejos como

función que puede ser continuada analíticamente para todo el plano complejo  excepto para .

 Esta función de variable compleja , donde  y  

son números reales, y , es la llamada función zeta de Riemann 

y presenta cierta simetría alrededor de la línea crítica  dada por

 la ecuación funcional 

,

que permite demostrar que tiene ceros (llamados triviales) en todos los números enteros negativos  

Además, si la función tiene un cero , con  

también tendrá como cero el número simétrico con  

y sus dos simétricos respecto al eje .

Riemann conjeturó como hipótesis razonable que todos los ceros no triviales de la función  son de la forma nula es decir, se encuentran en la línea crítica.

 En 1900, Hilbert consideró la hipótesis de Riemann como el octavo problema de su famosa lista, y de ahí acabó como uno de los problemas del milenio del Instituto Clay de Matemáticas dotado con un millón de dólares.

 Durante el s. XX ha habido ciertos avances menores en la demostración de la conjetura, como cuando Hardy demostró en 1914 que hay infinitos ceros de la función  en la línea crítica, pero esto no basta para demostrar la hipótesis de Riemann (hoy sabemos gracias a Conrey, 1989, que al menos dos tercios de los ceros se encuentran en ella).

 Todos lo ceros deben estar en ella.