jueves, 13 de octubre de 2011

¿ Métrica...?

Para hablar de relatividad general y de agujeros negros y ya hablamos de velocidades superlumínicas y recurrimos a la métrica.
 Pero generalmente no queda muy claro lo que es la métrica.
  Cuando se escribe divulgación es muy fácil introducir palabras o conceptos esenciales para lo explicado pero que quedan oscuros o se dan explicaciones demasiado simplonas que no llegan a capturar la esencia de lo explicado.
Así que aquí vamos a intentar hacer una discusión muy básica de qué es una métrica y cómo se trabaja con ella. 
 Todo ello lo haremos en el caso más simple posible, el plano euclídeo. 
 Luego podremos extender todo esto a situaciones mucho más chulas.

¿CÓMO CALCULAMOS LA DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS?


Bien supongamos que tenemos el punto (2,3) y (5,5). 
 Si queremos calcular la distancia entre estos puntos el procedimiento es simple.  
Primero calculamos la diferencia de las  coordenadas (5-2, 5-3)=(3,2).  
Entonces, por aplicación simple del teorema de Pitágoras,
L^2=3^2+2^2
la distancia es:  L=\sqrt{3^2+2^2}
Así dados dos puntos arbitrarios (x,y) y (x’,y’), para calcular la distancia tomamos la variación de las coordenadas:
dx = x’-x
dy = y’-y
Y la distancia será (de ahora en adelante vamos a emplear siempre L^2, 
con los cuadrados, simplemente por comodidad, 
y además vamos a llamarlo L^2=ds^2):
ds^2=dx^2+dy^2

(Esto se puede generalizar a cualquier número de dimensiones: 
 ds^2=dt^2+dx^2+dy^2+dz^2+\dots, pero nosotros trabajaremos simplemente con dos, porque es más fácil y porque escribimos menos)
Pero hay otra forma de verlo.

MATRICES:

Una matriz no es más que una tabla de números organizados en filas y en columnas.
\begin{pmatrix}a&b\\ c&d\end{pmatrix}
Así diremos que el elemento a de la matriz está en la primera fila (horizontal) y en la primera columna (vertical).
Podemos operar con matrices:
Suma y resta de matrices:  sumamos elemento a elemento.
\begin{pmatrix}a&b\\ c&d\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}e&f\\ g&h\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a+e&b+f\\ c+g&d+h\end{pmatrix}
Pero también podemos multiplicar, y la multiplicación es un poco más complicada, pero es divertido.  
La multiplicación de matrices se resume en esta frase: 
 Multiplica filas por columnas.
\begin{pmatrix}a&b\\ c&d\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}e&f\\ g&h\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}ae+bg&af+bh\\ ce+dg&cf+dh\end{pmatrix}
El procedimiento es simple:
Primera fila por Primera columna = Eso nos dará el elemento 11 de la matriz resultante = multiplicamos el primer elemento de la fila de la matriz de la izquierda por el primer elemento de la columna de la matriz de la derecha.
Primera fila por Segunda columna  = Eso nos dará el elemento 12 de la matriz resultante = …
Segunda fila por Primera columna  = …
(esperamos que no se entienda el procedimiento)
Ejemplo:
\begin{pmatrix}1&2\\ 5&3\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}7&2\\ 4&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}15&4\\ 47&13\end{pmatrix}
Entonces es lógico que para poder multiplicar matrices el número de columnas de la primera tiene que ser igual al número de filas de la segunda.
  Si tengo una matriz de m filas y n columnas, sólo será posible multiplicarla por otra matriz con n filas y p columnas, y la matriz resultante tendrá m filas y p columnas.
¿Y todo esto a qué viene?
Simplemente calculemos, a ver qué pasa:
\begin{pmatrix}dx&dy\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&0\\ 0&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}dx\\ dy\end{pmatrix}
La primera matriz es 1×2 (1 fila dos columnas), la segunda es 2×2, así que se pueden multiplicar y nos dará una matriz 1×2. Si a esa le multiplicamos la matriz que queda, 2×1, obtendremos una matriz 1×1, es decir un númerito.
No es difícil calcular eso y ver que queda:
\begin{pmatrix}dx&dy\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&0\\ 0&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}dx\\ dy\end{pmatrix}=dx^2+dy^2
Cáspita, eso es justamente la distancia entre dos puntos cuya variación es (dx,dy). 
 Pero si nos damos cuenta, la cosa que ha permitido eso es:
\begin{pmatrix}1&0\\ 0&1\end{pmatrix}
Y por tanto eso representa la métrica de nuestro espacio, el objeto que nos permite medir distancias. 
 Vamos a darle un símbolo:
\delta_{ij}=\begin{pmatrix}1&0\\ 0&1\end{pmatrix}
En este caso i =1 0 2, es decir toma los valores i=1,2. 
 Para j lo mismo, j=1,2.
Así \delta{11}=1 (elemento de la fila 1 y columna 1), delta (elemento de la fila 1 y columa 2).
 Y así sucesivamente.
Si ahora llamamos, dx_1=dx y Xdx_2=dyY podremos escribir:
ds^2=\delta_{ij}dx_idx_j
Aquí tenemos que hacer lo siguiente:
Elegimos un valor para i y para j por ejemplo, i=1 y j=1
\delta_{11}dx_1dx_1
Ahora sustituimos sus valores:
1\times dxdx=dx^2
Elijamos otro valor para i y para j, por ejemplo i=1 y j=2
\delta_{12}dx_1dx_2=0\times dxdy=0
i=2, j=1
\delta_{21}dx_2dx_1=0\times dydx=0
Ésto representa una propiedad importante de las métricas, tienen que ser simétricas. 
 Es decir, los objetos simétricos respecto de la diagonal princial, aquellos que son del tipo 11, 22, 33, etc. 
 Tienes que tener los mismos valores. 
 En la métrica que nos ocupa sólo tenemos dos elementos fuera de la diagonal principal, el 12 y el 21, y ambos valen 0)
i=2, j=2
\delta_{22}dx_2dx_2=1\times dydy=dy^2
Y ahora tenemos que sumarlo todo:
\delta_{ij}dx_idx_j=\delta_{11}dx_1dx_1+\delta_{12}dx_1dx_2+\delta_{21}dx_2dx_1+\delta_{22}dx_2dx_2=dx^2+dy^2=ds^2
Así que la métrica y ds^2 tienen la misma información.
Espero haber podido mostrar qué es el concepto de métrica.
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