viernes, 21 de octubre de 2011

Relatividad... problema

La situación


1.- Tenemos dos observadores inerciales A y B con una determinada velocidad relativa.
2.-  Estos observadores sincronizan sus relojes en el punto en el que se encuentran que llamaremos O.
3.-  A envía después de un tiempo T en su reloj un rayo de luz hacia B.
4.- Cuando el rayo llega a B es reflejado hacia A. Esto es equivalente a que B haya enviado un rayo de luz hacia a en un tiempo kT en su reloj.
5.- Desde la perspectiva de A ha recibido dicha señal en un tiempo k(kT) es decir en k^2T.
Como vimos en la entrada anterior los puntos se identifican del siguiente modo:
(t,x)=(\frac{1}{2}(t_1+t_2),\frac{1}{2}(t_2-t_1))
Ahora identifiquemos las coordenadas para A:
-  t_1=T
- t_2=k^2T
Conforme vayamos variando T iremos recuperando la línea de mundo de A (línea negra).
Así podemos ver que:  (t,x)=(\dfrac{1}{2}(k^2+1)T,\frac{1}{2}(k^2-1)T)
Ahora calculamos la velocidad relativa de B respecto de A:
v=\dfrac{x}{t}=\dfrac{k^2-1}{k^2+1}
Esto nos permite identificar k del siguiente modo (notemos que k en nuestro caso tiene que ser mayor que 1 como se ve en las gráficas, kT tiene que ser mayor que T).
k=\left(\dfrac{1+v}{1-v}\right)^{1/2}
Esto en el caso de que B se aleje de A.  En caso de que B se acerque a A tenemos que cambiar v por -v, lo que fácilmente equivale a cambiar k por 1/k.
En su momento veremos, el que lo haya visto ya se lo confirmamos, que estas expresiones están relacionadas con el efecto Doppler.
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