alquimiayciencias: Suma de velocidades en la Relatividad Especial

Hoy me propongo explicar cómo se “suman” velocidades en relatividad especial.

Aquí voy a ver como con unos simples trazos podemos llegar a dicha fórmula sin mayor problema.

Siguiendo a Galileo

En nuestra vida diaria tenemos la costumbre de componer o sumar velocidades siguiendo el método de Galileo, esto de hecho es lo que hay que hacer para velocidades pequeñas en comparación a la velocidad de la luz.

Vamos a revisar el método Galileano de composición de velocidades.

1.- Supongamos que estamos mirando una carretera y que nosotros nos consideramos en reposo (por ejemplo respecto a los palos de la luz), nos llamaremos sistema A.

2.- Ahora pasa un coche, que llamaremos sistema B, con una velocidad relativa a nosotros V(AB) de 50 km/h.

3.- También pasa otro coche, que llamaremos sistema C, que tiene una velocidad relativa a B, V(BC) de 30 km/h.

La situación viene representada en la siguiente figura:

La pregunta es ¿cuánto vale V(AC)?

Y la solución es simple, si respecto a B el sistema C se mueve a 30 km/h y a su vez el sistema B se mueve respecto a A a 50 km/h, la velocidad de C relativa a A será:

$v_{AC}=v_{AB}+v_{BC}=80$ km/h

Sin embargo esto no se puede cumplir así en relatividad porque imaginemos que C es un fotón, y entonces la velocidad respecto a B tiene que ser c pero si aplicamos la fórmula Galileana la velocidad con respecto a A sería:

$v_{AC}=v_{AB}+c$ > $c$

Y sabemos que en relatividad especial todo observador tiene que medir la misma velocidad de la luz.

Por eso la fórmula para calcular sumas de velocidades es en el caso relativista:

$v_{AC}=\dfrac{v_{AB}+v_{BC}}{1+\dfrac{v_{AB}v_{BC}}{c^2}}$

Ahora supongamos que $v_{BC}=c$ , entonces tendríamos:

$v_{AC}=\dfrac{v_{AB}+c}{1+\dfrac{v_{AB}c}{c^2}}=\dfrac{v_{AB}+c}{1+\dfrac{v_{AB}}{c}}$

Pero $v_{AB}+c=c(1+\dfrac{v_{AB}}{c})$ ,

por tanto tenemos:

$v_{AC}=c\dfrac{1+\dfrac{v_{AB}}{c}}{1+\dfrac{v_{AB}}{c}}=c$

Con lo cual A también ve que C se mueve a la velocidad de la luz, como tiene que ser.

Derivemos esta fórmula haciendo uso de los dibujitos.

En lo que sigue trabajaremos con unidades en las que c=1 (unidades naturales en relatividad especial, es decir, que todas las velocidades están medidas respecto a la velocidad de la luz pudiendo valer entre 0 y 1). Por tanto la fórmula quedará:

$v_{AC}=\dfrac{v_{AB}+v_{BC}}{1+v_{AB}v_{BC}}$

Composición relativista de las velocidades

1.- Tenemos 3 sistemas, A, B y C moviéndose relativamente uno respecto a otro:

2.- Ahora A emite dos rayos de luz separados por un intervalo temporal T:

3.- Como vemos a B le llegarán estos rayos de luz en un intervalo de tiempo T multiplicado por su respectiva k(AB) y a C le llegarán estos en un intervalo de tiempo respecto a B multiplicado por k(BC):

4.- Si no estuviera el sistema B hubieramos empleado directamente la cantidad k(AC), así que este factor k(AC)=k(BC)k(AB):

$k_{AC}=k_{BC}k_{AB}$

k se puede expresar como una relación entre la velocidad relativa de dos sistemas:

$k_{AB}=\left(\dfrac{1+v_{AB}}{1-v_{AB}}\right)^{1/2}$

Entonces tenemos que $k_{AC}=k_{BC}k_{AB}$ es una expresión del tipo:

$\left(\dfrac{1+v_{AC}}{1-v_{AC}}\right)^{1/2}=\left(\dfrac{1+v_{BC}}{1-v_{BC}}\right)^{1/2}\left(\dfrac{1+v_{AB}}{1-v_{AB}}\right)^{1/2}$

Ahora despejemos $v_{AC}$ siguiendo estos pasos:

1.- Elevamos al cuadrado toda la expresión:

$\dfrac{1+v_{AC}}{1-v_{AC}}=\dfrac{1+v_{BC}}{1-v_{BC}}\dfrac{1+v_{AB}}{1-v_{AB}}$

2.- El denominador del término de la izquierda lo pasamos al otro miembro multiplicando:

$1+v_{AC}=\dfrac{1+v_{BC}}{1-v_{BC}}\dfrac{1+v_{AB}}{1-v_{AB}}(1-v_{AC})$

3.- Efectuamos la multiplicación del término de la derecha de las dos fracciones con el paréntesis:

$1+v_{AC}=\dfrac{1+v_{BC}}{1-v_{BC}}\dfrac{1+v_{AB}}{1-v_{AB}}-\dfrac{1+v_{BC}}{1-v_{BC}}\dfrac{1+v_{AB}}{1-v_{AB}}v_{AC}$

4.- Agrupamos en el miembro de la izquierda todos los términos con $v_{AC}$

$v_{AC}+\dfrac{1+v_{BC}}{1-v_{BC}}\dfrac{1+v_{AB}}{1-v_{AB}}v_{AC}=\dfrac{1+v_{BC}}{1-v_{BC}}\dfrac{1+v_{AB}}{1-v_{AB}}v_{AC}-1$

5.- Sacamos factor común la velocidad $v_{AC}$

$v_{AC}\left(1+\dfrac{1+v_{BC}}{1-v_{BC}}\dfrac{1+v_{AB}}{1-v_{AB}}\right)=\dfrac{1+v_{BC}}{1-v_{BC}}\dfrac{1+v_{AB}}{1-v_{AB}}-1$

6.- Aislamos el término que nos interesa en el lado izquierdo

(pasamos todo lo demás a la derecha dividiendo):

$v_{AC}=\dfrac{\dfrac{1+v_{BC}}{1-v_{BC}}\dfrac{1+v_{AB}}{1-v_{AB}}-1}{\dfrac{1+v_{BC}}{1-v_{BC}}\dfrac{1+v_{AB}}{1-v_{AB}}+1}$

7.- Recordemos que siempre podemos escribir:

$1=\dfrac{(1-v_{BC})(1-v_{AB})}{(1-v_{BC})(1-v_{AB})}$

8.- Sustituyendo en la fórmula de interés:

$v_{AC}=\dfrac{\dfrac{(1+v_{BC})(1+v_{AB})}{(1-v_{BC})(1-v_{AB})}-\dfrac{(1-v_{BC})(1-v_{AB})}{(1-v_{BC})(1-v_{AB})}}{\dfrac{(1+v_{BC})(1+v_{AB})}{(1-v_{BC})(1-v_{AB})}+\dfrac{(1-v_{BC})(1-v_{AB})}{(1-v_{BC})(1-v_{AB})}}$

9.- Esto se puede escribir:

$v_{AC}=\dfrac{\dfrac{(1+v_{BC})(1+v_{AB})-(1-v_{BC})(1-v_{AB})}{(1-v_{BC})(1-v_{AB})}}{\dfrac{(1+v_{BC})(1+v_{AB})+(1-v_{BC})(1-v_{AB})}{(1-v_{BC})(1-v_{AB})}}$