alquimiayciencias: De Newton a la ecuación de Friedmann. Segunda Parte

Continuamos con el intento de recuperar las ecuaciones de Friedmann

Ahora introduciremos el concepto esencial que nos falta, las coordenadas comóviles y el factor de escala.

Describir algo que sabemos que se expande.

Sabemos que el espacio en nuestro universo se expande.

Esta es una evidencia observacional con muchas pruebas.

Lo que queremos aquí no es hacer una revisión de estas pruebas,

ya tendremos tiempo, sino presentar cómo podemos definir las distancias

en un universo en expansión.

Supongamos que tenemos dos puntos en el universo (dos galaxias)

que queremos estudiar cómo se comportan.

Suponemos además que estos puntos no se están moviendo relativamente:

Cuando decimos que el espacio se expande directamente pensamos en que las distancias entre las partículas en ese espacio aumenta.

Pero hay una sutilidad, que el universo se expanda no significa que las partículas se estén moviendo entre sí sino que son las distancias entre las partículas las que están aumentando en el tiempo.

Si el universo se expande, si lo miramos en tres instantes de tiempo veremos lo siguiente:

Aquí vemos claramente que es todo el espacio el que se expande, pero las coordenadas que hemos elegido son fijas, a estas se las denomina coordenadas comóviles.

Se llaman así porque están adaptadas al espacio y a su expansión.

¿Cómo podemos describir entonces la expansión?

El truco está en darse cuenta que lo que varía entre las partículas no son sus posiciones sino las distancias que las separan.

Si tengo dos partículas separadas por una distancia r, el efecto es que dicha distancia se puede escribir como:

$r=a(t)x$

donde x es una cantidad constante (y arbitraria) y a(t) es lo que se conoce como el factor de escala.

El factor de escala

Este factor de escala a(t) tiene las siguientes propiedades fundamentales:

- Es sólo función del tiempo.

Esto es evidente porque la expansión es la misma en todas las direcciones, así que el factor de escala no puede depender del punto espacial, en todos ellos tiene que ser el mismo.

- Este factor nos da la información de cómo se expande el universo a dar cuenta del aumento de las distancias entre dos partículas fijas (en coordenadas comoviles) conforme pasa el tiempo.

- Además este factor ha de ser positivo en todo instante de tiempo.

Este factor nos da la distancia entre dos puntos y las distancias sólo pueden ser positivas.

La energía en términos del factor de escala

Dedujimos la energía de un cuerpo de masa m en el universo debido a su interacción gravitatoria con la masa M contenida en una esfera de radio r.

Técnicamente es la interacción entre dos partículas.

Este argumento se aplica entre cualquier par de partículas en el universo (a escala cosmológica) dado que estamos suponiendo el principio cosmológico.

En términos de la densidad encerrada en la esfera la ecuación de la energía quedaba:

$U=\dfrac{1}{2}mv^2-G\dfrac{4\pi \rho r^2 m}{3}$

Analicemos cada término de esta fórmula y escribámoslo en términos del factor de escala.

Energía total U: Por conservación de la energía este término es una constante.

Energía cinética T: La energía cinética viene dada por:

$T=\dfrac{1}{2}mv^2$

La velocidad es la variación de la distancia recorrida por una partícula por unidad de tiempo.

Eso se expresa con la derivada, que nos da precisamente esa información, de la distancia respecto al tiempo:

$v=\dfrac{dr}{dt}$

La distancia se expresa a través del factor de escala $r=a\cdot x$ .

El factor de escala es una función del tiempo, así que puede variar cuando varie el tiempo.

El término x es una constante, así que no varía respecto al tiempo:

$v=\dfrac{dr}{dt}=\dfrac{d(ax)}{dt}$

Aplicamos la regla de la cadena para la derivada de un producto de funciones:

$\dfrac{d(fg)}{dt}=\dfrac{df}{dt}g+f\dfrac{dg}{dt}$ :

$v=\dfrac{da}{dt}x+a\dfrac{dx}{dt}$

El segundo término se anula, la derivada de una constante da cero (no varía), por lo que:

$v=\dfrac{da}{dt}x$

Usaremos esta notación para la derivada temporal

$\dfrac{df}{dt}=\dot{f}$ :

$v=\dot{a}$

Agrupando todo esto la energía cinética se escribe como:

$T=\dfrac{1}{2}mx^2\dot{a}^2$

Energía potencial U:

Aquí simplemente tenemos que sustituir r por ax:

$V=-G\dfrac{4\pi \rho a^2x^2 m}{3}$

Así pues tenemos:

$U=\dfrac{1}{2}mx^2\dot{a}^2-G\dfrac{4\pi \rho a^2x^2 m}{3}$

La ecuación de Friedmann

Vamos a manipular la fórmula anterior para llegar a la ecuación de Friedmann que es:

$\left(\dfrac{\dot{a}}{a}\right)^2=\dfrac{8\pi G}{3}\rho-\dfrac{kc^2}{a^2}$

Pasos

1.- Multiplicamos ambos términos de la fórmula por $2/ma^2x^2$

$\dfrac{2}{ma^2x^2}U=\dfrac{2}{ma^2x^2}\dfrac{1}{2}mx^2\dot{a}^2-\dfrac{2}{ma^2x^2}G\dfrac{4\pi \rho a^2x^2 m}{3}$

Lo que queda:

$\dfrac{2}{ma^2x^2}U=\dfrac{\dot{a}^2}{a^2}-G\dfrac{8\pi \rho}{3}$

2.- Aislamos el término que involucra al factor de escala y su derivada:

$\left(\dfrac{\dot{a}}{a}\right)^2=\dfrac{8\pi G}{3}\rho+\dfrac{2U}{ma^2x^2}$

3.- Notemos que la asociación $2U/mx^2$ es constante dado que la energía total del sistema es constante y x también lo es.

Por lo tanto llamaremos a esta agrupación, cambiada de signo por conveniencia, $kc^2=-2U/mx^2$ , donde k es una constante

y c evidentemente lo es.

Quedando entonces:

$\left(\dfrac{\dot{a}}{a}\right)^2=\dfrac{8\pi G}{3}\rho-\dfrac{kc^2}{a^2}$

Y hemos llegado a la ecuación de Friedmann que nos dice que la velocidad de expansión del universo depende de dos términos.

Hemos de comentar que este paso que aquí parece sacado de la manga efectivamente lo es.

Sin embargo, si desarrollamos este problema cosmológico en Relatividad General estos factores y signos aparecen directamente en el formalismo.

La introducción de la velocidad de la luz al cuadrado se justifica porque es necesaria para asegurar que todos los términos de la ecuación tienen las mismas unidades.

Por lo tanto k es una constante que tiene dimensiones de $[Longitud]^{-2}$ .

Esta constante tiene la información sobre la curvatura del espacio en el universo y lo llamaremos justamente curvatura.

La constante de curvatura puede tener un valor negativo, positivo o nulo, esto corresponderá a distintas geometrías del universo como veremos.

Vamos a describir lo que significa esta ecuación:

a) $\left(\dfrac{\dot{a}}{a}\right)^2$ este término da cuenta de la velocidad de la expansión del universo. De hecho esta agrupación $\dot{a}/a$ aparece muchas veces y recibe un nombre $H(t)$ que es conocida como la función de Hubble.

Esta velocidad de expansión es debida por lo tanto a dos términos:

b) $\dfrac{8\pi G}{3}\rho$ el término que tiene en cuenta la contribución a la expansión de la distribución de densidad de energía/materia en el universo.

Aunque aquí hemos hecho el ejemplo teniendo en mente que $\rho$ es una densidad de masa (masa dividida por el volumen que ocupa) en este contexto esta densidad puede ser de energía o de materia, por ejemplo puede ser densidad de radiación electromagnética.