alquimiayciencias: El Hubble... la Física de lo que vio.

Edwin Hubble, el hombre que hizo que el universo se expandiera.

Más bien, lo que hizo fue expandir nuestra capacidad de entender el universo y que aceptáramos que el universo no era algo estático sino que se está expandiendo.

En esta entrada no vamos a describir el método observacional que llevó a Hubble a determinar su ley.

No lo haremos por dos motivos, a) es un tema muy conocido y muy tratado por ahí y b) lo que nos interesa aquí es ver como se modeliza la ley de Hubble.

De todas formas en algún momento discutiremos lo que hizo Hubble y sus resultados.

Entendiendo un poco mejor el factor de escala

Como hemos visto la variable central de la descripción cosmológica es el factor de escala, a(t).

Ahora daremos un argumento para entender mejor un par de detalles al respecto de este factor.

Situación:

1.- Supongamos que queremos estudiar las distancias entre tres puntos en el universo (tres galaxias por ejemplo).

Imaginaremos que las galaxias están cerca (en distancias cosmológicas) con lo cual las reglas de la geometría usual servirán (la curvatura del universo se puede despreciar en este contexto).

Los puntos los denominaremos 1, 2 y 3.

Por lo tanto tendremos tres distancias: $d_{12}$ , $d_{13}$ y $d_{23}$ .

2.- Dado que el universo está expandiendose, si miramos estas mismas distancias en dos tiempo distintos $t_1$ y $t_2$ tendremos:

En esta situación podemos decir que tenemos las distancias entre las partículas determinadas por:

$d_{12}=a(t)x_{12}$

$d_{13}=a(t)x_{13}$

$d_{23}=a(t)x_{23}$

Lo interesante es que todas las distancias se tienen que reescalar con el mismo factor a(t) para asegurarnos de que no rompemos la homogeneidad e isotropía del universo.

Por lo tanto lo que vamos a hacer es trabajar con la distancia de dos partículas cualesquiera, la partícula i y la partícula j, en el tiempo vendrá dada por:

$d_{ij}(t)=a(t) x_{ij}$

La x es una cantidad fija y arbitraria, así pues lo que vamos a hacer es tomar dicha cantidad como la distancia que tienen los puntos esos entre ellos en la actualidad (nuestra actualidad, nuestro tiempo $t_0$ ): $x_{ij}=d_{ij}(t_0)$ .

Así tenemos:

$d_{ij}(t)=a(t)d_{ij}(t_0)$

Lo interesante aquí viene del hecho de que en el tiempo inicial $t_1$ y en el tiempo final $t_2$ se tiene que cumplir:

$d_{ij}(t_1)=a(t_1)d_{ij}(t_0)$

$d_{ij}(t_2)=a(t_2)d_{ij}(t_0)$

Por lo tanto:

$d_{ij}(t_0)=\dfrac{d_{ij}(t_1)}{a(t_1)}$

$d_{ij}(t_0)=\dfrac{d_{ij}(t_2)}{a(t_2)}$

Eso quiere decir que tenemos la relación:

$\dfrac{d_{ij}(t_1)}{a(t_1)}=\dfrac{d_{ij}(t_2)}{a(t_2)}$

Y entonces podemos estar seguros de que la agrupación:

$\dfrac{d_{ij}(t)}{a(t)}=const$

es una constante para todo valor del tiempo.

Pero tener una cosa constante es muy bueno porque si ahora queremos calcular como varía esa relación en el tiempo (calcular la derivada temporal) no tiene que salir un bonito y lindo cero (las constantes no cambian con el tiempo).

Así que calculemos la derivada temporal de esta expresión:

$\dfrac{d}{dt}\left(\dfrac{d_{ij}(t)}{a(t)}\right)=0$

Escribiremos la expresión de esta forma para simplificar el cálculo de la derivada: $a^{-1}(t)d_{ij}(t)$ .

Aplicaremos la derivada del producto de funciones:

$\dfrac{dfg}{dt}=\dfrac{df}{dt}g+f\dfrac{dg}{dt}$ .

Y tendremos que derivar funciones que son polinomios

$\dfrac{df^n(t)}{dt}=nf^{n-1}(t)\cdot \dfrac{df(t)}{dt}$ :

Por lo tanto:

a) $\dfrac{d}{dt}\left(a^{-1}(t)d_{ij}(t)\right)=0$

b) Aplicamos la regla del producto:

$\dfrac{da^{-1}(t)}{dt}d_{ij}(t)+a^{-1}(t)\dfrac{d d_{ij}(t)}{dt}=0$

c) Derivamos las funciones:

$(-1)a^{-1-1}(t)\dfrac{da(t)}{dt}d_{ij}(t)+a^{-1}(t)\dfrac{d_{ij}(t)}{dt}=0$

d) Arrelgamos un poco la expresión y empleamos la notación usual

$\dfrac{df}{dt}=\dot{f}$ :

$-a^{-2}(t)\dot{a}(t)d_{ij}(t)+a^{-1}(t)\dot{d}_{ij}(t)=0$

$-\dfrac{\dot{a}(t)}{a^2(t)}d_{ij}(t)+\dfrac{1}{a(t)}\dot{d}_{ij}(t)=0$

e) Multiplicamos todo por a(t):

$-\dfrac{\dot{a}(t)a(t)}{a^2(t)}d_{ij}(t)+\dfrac{a(t)}{a(t)}\dot{d}_{ij}(t)=0$

$-\dfrac{\dot{a}(t)}{a(t)}d_{ij}(t)+\dot{d}_{ij}(t)=0$

f) Dividimos todos por $d_{ij}(t)$ :

$-\dfrac{\dot{a}(t)}{a(t)}\dfrac{d_{ij}(t)}{d_{ij}(t)}+\dfrac{\dot{d}_{ij}(t)}{d_{ij}(t)}=0$

$-\dfrac{\dot{a}(t)}{a(t)}+\dfrac{\dot{d}_{ij}(t)}{d_{ij}(t)}=0$

g) Lo cual significa que:

$\dfrac{\dot{d}_{ij}(t)}{d_{ij}(t)}=\dfrac{\dot{a}(t)}{a(t)}$

Esto es por lo que en nuestras expresiones cosmológicas como en la ecuación de Friedmann aparece el factor $\dot{a}/a$ ,

porque este factor escala exactamente igual que las distancias entre distintos puntos del universo como acabamos de ver.

Pero hay un detalle interesante, esta relación no depende de los puntos i o j que utilicemos para calcularla, es decir, hubiera salido lo mismo con el par 12, 13, 23… o cualquier otro par si tenemos más partículas.

Este hecho es lo que nos dice que el universo es homogéneo e isótropo y se expande por igual en todo punto y dirección.

El parámetro de Hubble

En el cole ya nos decían que todas las galaxias se alejaban de la nuestra con una velocidad de alejamiento (de recesión) proporcional a la distancia que nos separaban y que eso era la ley de Hubble.

$v=Hd$

v es la velocidad de separación.

H es una constante llamada constante de Hubble

d es la distancia entre las galaxias.

En realidad hoy sabemos que la constante de Hubble no es una constante.

Pero podemos descubrirlo por nosotros mismos.

¿Qué es la velocidad en la fórmula de la ley de Hubble?

Pues como toda velocidad será la (derivada) variación de la distancia por unidad de tiempo, es decir $\dfrac{dd}{dt}=\dot{d}=v$ .

Así podemos escribir:

$\dot{d}=Hd$

Pero justamente antes hemos obtenido:

$\dfrac{\dot{d}_{ij}(t)}{d_{ij}(t)}=\dfrac{\dot{a}(t)}{a(t)}$

como esta relación es válida para cualquier par de puntos podemos escribir:

$\dfrac{\dot{d}(t)}{d_{ij}(t)}=\dfrac{\dot{a}(t)}{a(t)}$

Pero entonces podemos aislar la derivada de la distancia:

$\dot{d}(t)=\dfrac{\dot{a}(t)}{a(t)}d(t)$

Comparando con la ley de Hubble encontramos que:

$H(t)=\dfrac{\dot{a}(t)}{a(t)}$

y por tanto no es una constante sino una función del tiempo que de hecho no es más que el ratio de expansión del factor de escala.

Está claro que si ahora medimos la constante de Hubble obtendremos un valor

$H(t_0)=H_0$

que evidentemente nos parecerá constante porque las variaciones sólo son perceptibles a escalas cosmológicas.

Así que lo que se conoce como constante de Hubble en realidad es el valor del parámetro de Hubble en la actualidad.

El valor estimado en la actualidad oscila entre los

67.0 ± 3.2 km/s/mega pársec

y los 75 km/s/mega pársec.

La medida de este parámetro es ciertamente complicada y por eso no hay un concenso total en su valor.

Entonces, si recordamos las ecuaciones de Friedmann:

$\left(\dfrac{\dot{a}}{a}\right)^2=\dfrac{8\pi G}{3}\rho-\dfrac{kc^2}{a^2}$

Pues podemos entenderlas como una ecuación que nos dice como evoluciona el parámetro de Hubble:

$H^2=\dfrac{8\pi G}{3}\rho-\dfrac{kc^2}{a^2}$

Nota: La ley de Hubble entendida como velocidad “real” a la que una galaxia se aleja de la otra es evidente que no puede ser correcta.

Ya hemos visto que aquí no hay movimientos reales, sino que es el propio espacio el que se expande y da esa sensación de movimiento.

Aunque esta aproximación es más o menos correcta para galaxias cercanas, pierde todo el sentido si estudiamos galaxias muy alejadas porque nos diría que se alejan a velocidades superiores a la de la luz lo cual sería inconsistente.

Recordemos que en la expansión no hay involucrados movimientos relativos reales.

Esperamos que haya sido de interés la entrada y haber sabido transmitir lo que significa el factor de Hubble.

alquimiayciencias

sábado, 5 de noviembre de 2011

El Hubble... la Física de lo que vio.

Entendiendo un poco mejor el factor de escala

El parámetro de Hubble

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