alquimiayciencias: sobre Probabilidades Negativas

En esta entrada pretendo mostrar el verdadero problema asociado a la ecuación de Klein-Gordon cuando la consideramos una ecuación que describe cómo se comporta una partícula relativista.

El verdadero problema de la ecuación de Klein-Gordon aplicada a una única partícula es que nos dice que hay estados donde la probabilidad de encontrar dicha partícula en una región del espacio puede ser negativa.

Nos centraremos en una partícula moviéndose en una dimensión por simplicidad.

Corriente de Probabilidad

Como es estándar tomaremos la corriente de probabilidad calculada con un campo escalar $\phi$ que tomaremos complejo y tomando $\hbar=1$ :

$J=-i\phi^*\dfrac{\partial \phi}{\partial x}+i\phi\dfrac{\partial \phi^*}{\partial x}$

Calculemos la derivada espacial de la corriente de probabilidad:

$\dfrac{\partial J}{\partial x}=-\phi^*\dfrac{\partial^2\phi}{\partial x^2}+i\phi\dfrac{\partial^2\phi^*}{\partial x^2}$

Empleando la ecuación de Klein-Gordon:

$\dfrac{\partial^2 \phi}{\partial x^2}-\dfrac{\partial^2\phi}{\partial t^2}=m^2\phi$

Recordemos que si una función compleja es solución a una ecuación, su compleja conjugada también es solución:

$\dfrac{\partial^2 \phi^*}{\partial x^2}-\dfrac{\partial^2\phi^*}{\partial t^2}=m^2\phi^*$

Sustituyendo la segunda derivada espacial en la corriente por la ecuación de Klein-Gordon:

$\dfrac{\partial J}{\partial x}=-i\phi^*\left(\dfrac{\partial^2\phi}{\partial t^2}+m^2\phi\right)+i\phi\left(\dfrac{\partial^2\phi^*}{\partial t^2}+m^2\phi^*\right)$

Esto implica que:

$\dfrac{\partial J}{\partial x}=-i\left(\phi^*\dfrac{\partial^2\phi}{\partial t^2}-\phi\dfrac{\partial^2\phi^*}{\partial t^2}\right)$

Ahora empleando la ecuación de continuidad:

$\dfrac{\partial \rho}{\partial t}+\dfrac{\partial J}{\partial x}=0$

Esta ecuación nos da la conservación de la probabilidad y nos dice que la variación en el tiempo de la densidad de probabilidad $\rho$ de encontrar una partícula en una región se compensa con el gradiente de la corriente de probabilidad, es decir, cómo fluye dicha probabilidad en esta región.

Por lo tanto identificamos:

$\dfrac{\partial \rho}{\partial t}=i\left(\phi^*\dfrac{\partial^2\phi}{\partial t^2}-\phi\dfrac{\partial^2\phi^*}{\partial t^2}\right)$

Y por tanto la densidad de probabilidad es:

$\rho=i\left(\phi^*\dfrac{\partial\phi}{\partial t}-\phi\dfrac{\partial\phi^*}{\partial t}\right)$

Recordemos que en mecánica cuántica no relativista la densidad de probabilidad era:

$\rho_{NR}=\psi^*\psi=|\psi|^2$

Y esta cantidad es definida positiva (nótese que es un módulo al cuadrado).

El problema es que en el caso de Klein-Gordon la densidad de probabilidad contiene derivadas temporales ya que esta ecuación es de segundo orden en las derivadas temporales.

Y esta es la razón por la que podemos tener probabilidades negativas.

Probabilidades Negativas

Como se vio en las entradas anteriores del curso la solución de tipo partícula libre viene dada por la onda plana:

$\phi(\vec{x},t)=e^{-ip\cdot x}=e^{-i(Et-px)}$

Ahora calculemos las derivadas temporales de esta solución y de su compleja conjugada:

$\dfrac{\partial \phi}{\partial t}=-iE e^{-i(Et-px)}=-iE\phi$

$\dfrac{\partial \phi^*}{\partial t}=iE e^{i(Et-px)}=-iE\phi^*$

El producto $\phi^*\dfrac{\partial \phi}{\partial t}=e^{i(Et-px)}(-iE)e^{-i(Et-px)}=-iE$

Por lo tanto sustituyendo en la expresión de $\rho$

$\rho=i\left(\phi^*\dfrac{\partial\phi}{\partial}-\phi\dfrac{\partial\phi^*}{\partial t}\right)=i(-iE-iE)=2E$

Aparentemente esto es una solución positiva al problema…

Pero recordemos que estamos en relatividad especial :

$E=\pm\sqrt{p^2+m^2}$

Es decir, que la energía puede ser negativa, por lo tanto la densidad de probabilidad también puede ser negativa.

Con esto se unifican ambos problemas y hacen que esta ecuación no se pueda interpretar como una ecuación para una única partícula relativista.

Veremos que esto se resuelve pasando a una interpretación de campos en vez de partículas.

alquimiayciencias

martes, 29 de noviembre de 2011

sobre Probabilidades Negativas

Corriente de Probabilidad

Probabilidades Negativas

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