El concepto de grupo
Lo primero es explicar el concepto de grupo.
Un grupo no es más que una colección de objetos agrupados
según un cierto principio y que se relacionan
unos con otros de forma que se generan nuevos miembros
a partir de los antiguos.
Esta definición tan genérica y abstracta se entiende mejor con un ejemplo:
Consideremos el grupo de los números enteros agrupados bajo la operación
de la suma.
Esta colección de números es un grupo porque cumple 4 requisitos básicos:
1º) La suma de 2 números cualesquiera siempre devuelve otro número
2º) Cumple la operación asociativa
3º) Cumple la operación identidad
4º) Todo número tiene su inverso
Consideremos 3 objetos cualesquiera 1,2 y 3.
Estos 3 objetos se pueden ordenar de 6 formas diferentes:
123, 132, 213, 231, 312, 321.
Llamaremos a las 6 reordenaciones e, a, b, c, p, q respectivamente.
Se puede comprobar fácilmente que las 6 transformaciones cumplen
los 4 requisitos anteriores y por lo tanto forman un grupo.
Entonces decimos que los 3 objetos bajo la acción
del ordenamiento forman un grupo de orden 6.
Tenemos un grupo H formado por las transformaciones {e,a,b,c,p,q},
sin embargo, este grupo se puede dividir en 2 subgrupos más pequeños
que también son grupos por si mismos ya que
también cumplen los 4 requisitos.
Estos 2 subgrupos son : {e,p,q}y {e}.
Por tanto, considerando el grupo H junto con los posibles subgrupos tenemos que el orden del conjunto es 6, 3, 1.
El índice es el resultado de dividir el orden del grupo más grande entre el pequeño más próximo, por tanto el índice del grupo H sería: 6/3=2 y 3/1=3.
Resumiendo el grupo H tiene orden 6,3,1 e índice 2,3.
Bien, pues con estas definiciones tan sencillas vamos a hacer algo increíble: vamos a deducir propiedades fundamentales del universo en el que habitamos.
Desde hace tiempo, los físicos nos hemos dado cuenta de que las leyes más fundamentales del universo cumplen criterios de simetría.
El teorema de Noether nos muestra el poder de la simetría
en todo su esplendor: toda magnitud física que se conserva es consecuencia de una simetría.
Así, por ejemplo, la conservación de la energía, el momento lineal y el momento angular son debidos a la simetría temporal, de traslación
y de rotación del espacio respectivamente.
La simetría se puede definir como todas aquellas transformaciones
que dejan al sistema físico en cuestión invariante, es decir, representado por las mismas leyes físicas.
La simetría, matemáticamente está descrita por la teoría de grupos que explica las normas de interacción entre grupos que son
(muy básicamente) los objetos que hemos descrito arriba.
Para empezar a darnos cuenta de que la naturaleza "utiliza" la teoría de grupos y ordena en grupos sus elementos constituyentes más
fundamentales vamos a explicar brevemente como los grupos resuelven
un problema matemático muy antiguo:
Las ecuaciones de orden 5
Desde hace tiempo se sabe que las ecuaciones cuadráticas
(ecuaciones de orden 2) que son de la forma
ax^2+bx+c=0
se resuelven de forma muy sencilla con una fórmula
en la que sólo aparece una raíz
cuadrada y los coeficientes a, b, c:
±raíz 2(b^2-4ac/2a).
En el caso de las ecuaciones de orden 3 y de orden 4 también existe una fórmula similar.
Sin embargo en el caso de las de orden 5 pasaba algo
muy extraño: parecía imposible resolverlas con una fórmula
similar de hecho ya antiguamente había
indicios de que era imposible resolverlas de esta forma.
Esto era muy extraño:
¿Qué tenían de diferente
las ecuaciones de orden 5 con respecto al resto?
¿Por que la naturaleza (no olvidemos que estas
ecuaciones se usan frecuentemente para representar fenómenos físicos reales) distingue entre ecuaciones de orden 4 y 5?
En 1832 un joven matemático llamado Evarist Galois de solo 20 años dejó escritos unos documentos matemáticos (la noche antes de morir) que explicaban este problema y que constituyeron el comienzo de una
rama de las matemáticas que nos permiten sondear las leyes más profundas del Universo: la teoría de grupos.
La respuesta al problema de las ecuaciones de orden 5 es tan sencilla
como impresionante: no se pueden resolver por el método de radicales porque sus soluciones no pertenecen al grupo de simetría correcto.
Galois fue capaz de demostrar que solo son resolubles por este método las ecuaciones cuyas soluciones tienen subgrupos normales (cumplen la propiedad conmutativa) y además contienen índices que son números no
factorizables (primos).
Para ver esto claro veamos los grados e índices de las soluciones de las ecuaciones de grado 4 y de grado 5:
Grado 4: Grupo de permutaciones de 4 elementos, 24 posibles permutaciones que contienen un subgrupo de 8, otro de 4, otro de 2 y el grupo identidad de 1. Los indices son 24/8=3 8/4=2 4/2=2 y 2/1=2.
Por tanto los números son: Grados: 24=8,4,2,1 Índices: 3,2,2,2.
Este grupo es resoluble ya que los subgrupos son normales
y los índices son primos.
Grado 5: Grupo de permutaciones de 5 elementos, 120 permutaciones que contienen un subgrupo de 60 y otro de 1.
Los números son: Grado: 120=60,1 Índice: 2, 60.
Este grupo no es resoluble por radicales.
La clasificación de las partículas fundamentales
Hemos visto un ejemplo que supone un claro indicio de que la naturaleza utiliza criterios de simetría en sus leyes más profundas.
La prueba definitiva y espectacular de que esto es realmente
así se produjo en el campo de la física de partículas.
!La teoría de grupos explica la clasificación y las propiedades de las
partículas fundamentales!:
Hacia 1960 se sabía que existían 8 bariones y 8 mesones (ver figuras abajo) agrupados según la conservación de dos propiedades
(el isospin y la extrañeza).
Tanto los bariones como los mesones se agrupaban en 4 grupos:
1 grupo de 3 (hiperones sigma y piones) dos grupos de 2
(neutrón, protón, hiperones xi y kaones) y un grupo de 1
(hiperonlambda y meson eta).
Clasificación bariones Clasificación mesones
Entonces, los físicos recurrieron una vez más al enorme poder de las matemáticas y utilizando la teoría de grupos tomaron el grupo SU(3)
(una generalización del grupo de rotaciones de 3 objetos) y encontraron
que el grupo SU(3) es de orden 8 y tiene 4 subgrupos: 1 de orden 3, 2 de orden 2 y 1 de orden 1.
!Explica perfectamente la distribución de los hadrones!
El gran físico Murray Gell-Mann y otros conjeturaron después
que los hadrones podrían estar constituidos por partículas más pequeñas, entonces pegando 3 copias de SU(3) obtuvieron:
3x3x3=1+8+8+10
(un subgrupo de 10, 2 de 8 y uno de 1):
Increíble, esto explicaba la existencia de los 8 bariones, los 8 mesones
y predecía 10 partículas de vida muy corta (resonancias) y otra partícula de
propiedades distintas a las demás.
En aquel momento solo se conocían 9 resonancias, Gell-Mann confiando
en el poder de la simetría predijo la existencia de una nueva resonancia (omega-) y de 3 tipos de quarks.
Cuando todas estas partículas fueron descubiertas la naturaleza nos confirmó que usa la teoría de grupos en sus leyes más profundas y que podemos utilizarla para predecir su estructura fundamental.
La gran unificación de las fuerzas fundamentales
Actualmente nuestra mejor teoría sobre física de partículas es el llamado modelo estándar (SM).
Esta teoría ha sido verificada experimentalmente por miles de experimentos y agrupa todo nuestro actual conocimiento sobre las interacciones entre partículas fundamentales.
El SM incorpora 3 de las 4 fuerzas fundamentales (la gravedad
es demasiado débil para tenerse en cuenta en física de partículas):
- El electromagnetismo descrito por el grupo U(1), la partícula que transmite la interacción es el fotón.
- La fuerza débil descrita por el grupo SU(2), las partículas mediadoras son
el W y el Z.
- La fuerza fuerte descrita por el grupo SU(3), las partículas mediadoras son los gluones.
Por ello el SM utiliza el grupo SU(3)XSU(2)XSU(1).
Basándose en este grupo el SM predijo la existencia
y algunas propiedades de todo un grupo de nuevas partículas:
las W,Z, los gluones, el quark top, y el quark extraño.
Todas estas partículas han sido descubiertas recientemente
(increíble el enorme poder del intelecto
humano armado con las matemáticas) pero también
se ha demostrado una predicción espectacular basada
también en argumentos de simetría:
a altas energías el electromagnetismo y la fuerza débil
son la mismafuerza.
Los portadores de ambas fuerzas, el fotón y las partículas
W y Z son idénticos a alta energía.
Sin, embargo, a bajas energías (por debajo de 246 GeV)
está simetría se rompe y ambas fuerzas se hacen
diferentes, además las partículas W y Z adquieren una gran masa.
El SM predice este proceso de ruptura de la simetría y predice la existencia
de una nueva partícula responsable del proceso: la partícula de Higgs.
El Higgs aún no ha sido descubierto pero pocos dudan de
que será descubierto en los próximos meses en el LHC.
Y ahora para terminar, una pregunta obvia:
Si el electromagnetismo y la fuerza débil son la misma
fuerza a altas energías...
¿No podría ser que pasase lo mismo con la fuerza fuerte?
Esta cuestión es abordada por las llamadas teorías de gran unificación (GUTs). Resulta que el grupo natural que explicaría la unificación
de las 3 fuerzas fundamentales es el SU(5).
Este grupo predice la existencia de 2 nuevas partículas: la X y la Y
pero aparecerían a energías enormes totalmente fuera de nuestro alcance. También predice algo increíble:
el protón sería inestable y se desintegraría.
Actualmente a través de experimentos encaminados a detectar la
desintegración del protón se ha descartado la versión más sencilla de SU(5) para explicar la gran unificación, sin embargo, los físicos siguen explorando versiones más complejas convencidos de que la gran unificación
es posible.
¿Porqué motivo la naturaleza iva a unificar solo 2 de las 4 fuerzas?
¿Porqué no las 4?
Todo este paisaje de enorme belleza y simplicidad sobre la creación del Universo se resume en el siguiente esquema:
No hay comentarios:
Publicar un comentario