Método totalmente gráfico para localizar las raíces complejas en una parábola.

Esta es una bonita forma de visualizar las raíces complejas de una cuadrática. 

A manera de ejemplo, he tomado la ecuación:

x^2 -4x+5

Ahora, refiriéndome a la Figura 1 del post, 

lo que se haces es:

1) Reflejar la gráfica de la cuadrática original

 (curva azul en la Fig.) desde el vértice,

 en la Fig. la nueva curva es roja.

2) Encontrar donde la nueva gráfica intercepta al eje X, que en la Fig.

 se marcó con puntos rojos.

3) Finalmente, estos puntos rojos (puntos de intercepción) corresponden también a los extremos opuestos en un círculo, por lo cual los hacemos rotar 90 grados (no salimos del círculo). 

Estos nuevos puntos (marcados en la Fig. con estrellas azules) 

deben ser interpretados en el plano complejo (ya no más en el plano cartesiano de los números reales) para que correspondan a las raíces 

de la ecuación original. en este caso, las raíces complejas son:

 2+i y 2-i.

Efectivamente, todas las parábolas que carecen de raíces reales,

cuentan con raíces complejas las que muestran una simetría alrededor 

de la componente real de la raíz (en este caso el 2). 

Estas dos raíces son números conjugados complejos.

Por supuesto, muestro este método como una alternativa complementaria para discutir, ahondar o curiosear gráficamente en torno al tema de las raíces complejas.

 Es muy probable que no sea el método más rápido para calcular 

las raíces, pero seguro si es el método más visual que requiere menos 

álgebra en el pizarrón. :)

Finalmente, a continuación les dejo el código Matlab que utilicé para generar las gráficas y puntos.

 Es un primer intento, pues se puede mejorar mucho para convertir 

el código en una función completa y flexible.

%% inicio del guion Matlab

clc

clear

close all

% valores por defecto

a =1;

b= -4;

c=5;

x =.5:0.01:3.5; % intervalo para vizualizar

y = a*x.^2 + b*x + c; % parábola original

mínimo

 = min(y); % vértice de la parábola

y_espejo = -y + 2*min(y); %reflejo de la parábola original

Posición

 =find(y_espejo == 0); % identifica a las etiquetas

raíces

=x(Posición_de_ceros); % encuentra las raíces de la parábola espejo

radio_círculo = abs((x(Posición_de_ceros(2))- x(Posición_de_ceros(1)))/2);

centro_círculo = x(Posición_de_ceros(1))+radio_círculo;

raíz

 = radio_círculo;

raíz

 = -radio_círculo;

% dibujando el círculo

o=-pi:0.001:pi;

r = radio_círculo;

k = 0; % por la definición de la raíz

h = centro_círculo;

xx=r*cos(o)+h;

yy=r*sin(o)+k;

hold on

plot(x, y, 'b', 'LineWidth',5)

plot(x, y_espejo, 'r', 'LineWidth',3)

plot(xx,yy,'--g', 'LineWidth',1.5)

plot(raíces, [0,0], 'o','MarkerEdgeColor','r',...

'MarkerFaceColor','r','MarkerSize',10)

plot([centro_círculo centro_círculo], [raíz raíz], 'p', 'MarkerEdgeColor','b',...

'MarkerFaceColor','b','MarkerSize',15)

axis equal

grid on

hold off

%% fin del guión