Espacio de Banach

Un espacio de Banach es un completo espacio vectorial  con una norma . 

Dos normas  y   se llaman equivalentes si dan la misma topología , que es equivalente a la existencia de constantes  y  que tales

(1)

y

(2)

mantener durante toda .

   

En el caso de dimensión finita, todas las normas son equivalentes. 

Un espacio de dimensión infinita puede tener muchas normas diferentes.

Un ejemplo básico es de dimensión espacio euclidiano

 con la norma euclidiana. 

Por lo general, la noción de espacio de Banach sólo se utiliza en la configuración de dimensión infinita, por lo general como un espacio vectorial de las funciones.

 Por ejemplo, el conjunto de funciones continuas en el intervalo cerrado de la línea real con la norma de una función  dada por

(3)

es un espacio de Banach, donde denota el supremo .

Por otro lado, el conjunto de funciones continuas en el intervalo de unidad con la norma de una función dada por

(4)

no es un espacio de Banach porque no es completa. 

Por ejemplo, la secuencia de Cauchy de funciones

(5)

no converge a una función continua.

Los espacios de Hilbert con su norma dada por el producto interno son ejemplos de espacios de Banach. 

Miestras que un espacio de Hilbert es siempre un espacio de Banach,

 lo contrario no tiene por qué mantener. 

Por lo tanto, es posible que un espacio de Banach no tener una norma propuesta por un producto interno. 

Por ejemplo, la norma del supremo no puede ser dada por un producto interno .

Renteln y Dundes (2005) dan la siguiente (mala)

 broma matemática sobre espacios de Banach:

Q: ¿Cuál es amarillo, lineal, normado, y completo? 

R: Un espacio Bananach.