En más de una ocasión hemos comentado que la serie armónica es divergente, esto es, que la suma de la siguiente serie...
es infinito.
Pero también hemos visto que cambiando los signos de algunos de los términos el resultado de la suma puede ser un número real.
Por ejemplo, si cambiamos los signos de los términos que están colocados
en posiciones pares obtenemos una serie cuya suma es :
De hecho a partir de esta última serie podíamos obtener cualquier número real reordenando sus términos convenientemente.
Por tanto, por ejemplo, podríamos obtener como suma el número o cualquier múltiplo suyo, o , o …números todos ellos muy relacionados con la fecha
de hoy, 20 de marzo, día de Pi por su escritura en notación
estadounidense (3-20).
Pero vamos a darle una vuelta de tuerca más a este tema.
En realidad conseguir así podría dejar un sabor agridulce, una sensación
de no haber conseguido demasiado, ya que, como hemos dicho,
podemos obtener cualquier número real simplemente colocando
los términos de forma adecuada.
Por ello hoy les traigo un desarrollo de como suma infinita
que a mi me ha gustado mucho.
Tanto que lo he llamado el desarrollo más bello de Pi como suma infinita, como refleja el título de este post.
Aquí va:
Magnífico, ¿verdad?
Cambiando algunos signos + por signos – en la serie armónica obtenemos una suma cuyo resultado es el número .
¡¡Maravilloso!!
Pero…un momento…¿cómo están distribuidos esos signos?
Es decir, ¿cuáles hay que cambiar?
Pues muy sencillo:
Dejamos un + cuando el denominador de la fracción sea un primo de la forma
También dejamos un + en la fracción con denominador 2.
Cambiamos a – si el denominador de la fracción es un primo de la forma
Si el número es compuesto ponemos el signo que quede al multiplicar los signos correspondientes a cada factor.
Por eso, por ejemplo, la de denominador lleva un +, la de denominador
lleva un -, la de denominador lleva un + (porque los dos llevan un +)
y la de denominador lleva un – (porque el 2 lleva un + y el 5 lleva un -).
¿Qué signo llevaría la de denominador ?
Tendría un – por el primero 5, otro – por el segundo 5
y un + por el dos, por lo que en conjunto tendría un -.-.-= +
Primera pregunta que nos sugiere este tema:
¿Quién descubrió esto?
Pues seguro que a casi nadie le sorprende que fuera el gran Leonhard Euler
el culpable de la creación de esta maravilla.
Aparece en su obra cumbre, Introductio in Analysis Infinitorum,
en el epígrafe 289 (página 292 del ejemplar que poseo).
Segunda, y evidente, pregunta que se nos podría ocurrir:
¿Cómo se demuestra este resultado?
Pues, bueno, en realidad Euler llegó a esta bella igualdad gracias al poco cuidado que tenía a la hora de manejar sumas infinitas.
Es conocido que muchos de los resultados de Euler relacionados con series surgieron de operaciones no del todo rigurosas realizadas por el matemático suizo, pero que más adelante se demostró que eran correctas.
De todas maneras, y aunque la demostración completa que aparece
en el libro es algo elaborada, vamos a dar algunos detalles de la misma.
Comienza con la expresión
Sumando y restando ciertas expresiones relacionadas con la propia expresión elimina todos los términos excepto el 1 inicial, a partir de lo cual
obtiene lo siguiente:
Dividiendo una serie obtenida anteriormente
entre ésta obtiene lo siguiente:
donde aparecen todas las fracciones cuyo numerador es un número primo
y cuyo denominador es un número par que deja resto dos al dividirlo entre
4 y que es inmediatamente superior o inmediatamente inferior al primo
que hay en el numerador.
Esta última expresión puede escribirse, dando la vuelta a las fracciones
y colocándolas en el denominador, de la siguiente forma:
y pasando esta expresión a suma (análogamente a como se haría utilizando el producto de Euler) llegamos a la igualdad buscada:
En definitiva, el desarrollo más bello de Pi como suma infinita.
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