sobre el Producto de Wallis...

Y que mejor comienzo que dando explicación a π2 mediante la fórmula de Wallis, donde primero apareció una expresión para la fracción.

Explicaremos cómo Wallis encontró su producto.

 En la ultima parte de su obra Arithmetica Infinitorum trata de calcular el área de un cuadrante del círculo de radio la unidad, y para ello utiliza la aritmética de los indivisibles de Cavalieri. 

Designa como un cuadrado pequeño (por sencillez lo escribiré así ⊓)

 el recíproco del área deseada, y establece que la suma infinita de los indivisibles de la función del círculo será el inverso de ⊓. 

Recordemos que la notación π todavía no se utilizaba, por ese motivo Wallis sólo hace mención del área, que implícitamente lleva a π.

Utilizando el signo ⊓ de Wallis hoy escribiríamos

1⊓=limn→∞∑k=0n1−k2n2−−−−−−√,

o bien,

1⊓=∫10(1−x2)12dx,

utilizando la nomenglatura que introducirá Leibniz 20 años después. 

Wallis conocía el resultado de las áreas bajo las curvas y=xpq,

 y que este era igual a

∫10xpqdx=1pq+1=pp+q.

Su idea fue generalizar el área para las funciones y=(1−x1p)q,

 de modo que si p=q=12, conseguía

π4=∫101−x2−−−−−−√dx.

Por tanto, comenzó a computar los valores de la función

f(p,q)=1∫10(1−x1p)qdx

para valores de p,q≤10.

No tardó en observar que

f(p,q)=1p!(q+1)(q+2)⋯(p+q),

y la recursiva

f(p,q)=p+qqf(p,q−1).

Cuando tuvo los elementos los dispuso en una tabla 

y planteó expandirla a los valores intermedios,

 donde aparecería f(12,12)=⊓.

Para calcularlos más cómodamente, consideró m=2p y n=2q, 

de modo que

am,n=f(m2,n2)=m2+n2n2f(m2,n2−1)=m+nnam,n−2.{q05}

Wallis sigue trabajando con los valores de am,n como si se tratase del triángulo de Pascal, pero el que le interesa es ⊓=a1,1. 

Así que estudia los números cuando m=1

a1,n=n+1na1,n−2,

obteniendo de forma recursiva

a1,n=1×32×54×⋯×n+1n,{q06}

si n es par, y

a1,n=⊓2×21×43×⋯×n+1n,{q07}

en caso de que n sea impar.

El siguiente paso es comprobar que

a1,1≤a1,2≤a1,3≤…≤a1,n≤a1,n+1≤…,

para sustituir {q06} y {q07} en

a1,2n−1≤a1,2n≤a1,2n+1,

resultando

⊓2∏k=1n2k2k−1<∏k=1n2k+12k<⊓2∏k=1n+12k2k−1,

de donde conseguimos

∏k=1n(2k)2(2k−1)(2k+1)<2⊓<[∏k=

1n(2k)2(2k−1)(2k+1)]2n+22n+1.

Como 2n+22n+1 tiende a 1 cuando n tiende a infinito, 

Wallis concluye que el producto

∏k=1n(2k)2(2k−1)(2k+1)

coincide con 2⊓ en el infinito. 

Si recordamos que 2⊓=π2, nos damos cuenta que ha obtenido

π2=limn→∞∏k=1n(2k)2(2k−1)(2k+1)=21⋅23⋅43⋅45⋯