Bohr y Einstein
En los primeros compases del siglo XX se produjo el mayor salto intelectual en la historia de la ciencia con el desarrollo tanto de la teoría de la relatividad como de la mecánica cuántica. Ambas teorías introdujeron cambios radicales en nuestra forma de entender del universo, desde las partículas más elementales (mecánica cuántica) hasta las galaxias (relatividad general).
Una de las primeras cosas que nos cuentan cuando nos presentan estas teorías es que a primera vista parecen no ser compatibles entre sí, siendo la búsqueda de una teoría de unificación una de las principales
preocupaciones de los físicos.
Ante este panorama resulta realmente sorprendente que sea posible deducir el principio más básico de la mecánica cuántica a través de los postulados de la relatividad especial. Sí, has leído bien.
Un análisis del efecto Doppler relativista conduce a la necesidad de que la energía esté cuantizada.
Recordando a Lorentz
La teoría de la relatividad especial nos dijo que nuestra intuición en lo tocante al espacio y el tiempo es más que inadecuada cuando hay en juego movimientos con velocidades cercanas a la de la luz.
En estos casos se pone de manifiesto que el tiempo no es absoluto
(no todos los observadores miden lo mismo), las velocidades no son aditivas, las varas se contraen… todos estos efectos y muchos otros vienen recogidos en las transformaciones de Lorentz
Para seguir esta entrada son recomendables conocimientos a nivel usuario
de la relatividad especial, es suficiente con estar familiarizado con las transformaciones de Lorentz.
siendo.
Estas ecuaciones son algo así como nuestra particular Piedra de Rosetta para la relatividad. Relacionan las medidas que dos observadores, alejándose a una velocidad en la dirección del eje el uno del otro, obtienen de la posición y el instante en que se produce un suceso.
Cuantificando el efecto Doppler
El efecto Doppler no es puramente relativista; aparece aunque las velocidades relativas entre la fuente y el receptor sean pequeñas.
A casi todos nos es familiar el cambio de tono (a más grave) de la sirena de una ambulancia tras pasar a nuestro lado:
Para el caso de una lámpara alejándose de nosotros a gran velocidad
(V en lo sucesivo) observaríamos un desplazamiento al rojo en comparación
a lo que veríamos si sostenemos la lámpara en nuestras manos.
Tanto con la ambulancia como con la bombilla está pasando lo mismo:
la frecuencia de la onda observada es más pequeña si la fuente se aleja de nosotros. Parece lógico pensar que cuanto más rápido se aleje, más se dejará notar el efecto, ¿pero cuál es la relación exacta?
Para saberlo tenemos que recurrir a una de las herramientas más poderosas de la física: un papel y un lápiz.
El primer paso para resolver un problema es entender lo que se nos pide.
Nada mejor que un dibujo esquemático para esto.
El primer paso para resolver un problema es entender lo que se nos pide.
Nada mejor que un dibujo esquemático para esto.
Consideramos dos instantes (A y B) de forma que mientras va desde A hasta B la bombilla es capaz de emitir un pulso de onda completo, que como es natural viaja a la velocidad de la luz hacia el observador.
La frecuencia original de la luz, V, es la cantidad de pulsos de onda que emite la bombilla en un segundo, mientras que la frecuencia que medirá
el observador, , es la cantidad de pulsos de onda que le llegan por segundo.
Para un sólo pulso de onda, la frecuencia se calcula como uno (porque sólo es un pulso) dividido por el tiempo durante el que se recibe ese pulso.
¿Durante cuánto tiempo se recibe el pulso?
¿Serías capaz de calcularlo por tu cuenta antes de seguir leyendo?
Como pista, considera que la “cola” del pulso de onda es emitida después
que la “cabeza” y además debe viajar una distancia mayor.
Por salir después
Desde el punto de vista de la bombilla es fácil saber que la cola
sale
segundos después que la cabeza.
Llamando
al tiempo que marca un reloj viajando con la bombilla cuando sale la “cabeza” del pulso y
al que marca al salir la “cola”, tenemos que
Para saber cuál es esa diferencia de tiempo desde el punto de vista del observador
recurrimos a las transformadas de Lorentz.
Como :
(posición de la bombilla medida en el sistema de referencia que viaja a la derecha), claramente
a última ecuación indica el retraso con que la cola sale con respecto a la cabeza.
Más distancia
Además, la cola tarda más tiempo en recorrer el camino hasta el observador porque necesita recorrer una distancia mayor.
La distancia extra es igual a la distancia recorrida por la bombilla entre A y B, es decir:
La luz recorre esa distancia en un tiempo de
Por tanto, el retraso total es:
Obteniendo finalmente la frecuencia medida
La energía también es relativa
Si medidas del tiempo y el espacio son relativas al movimiento del observador, como consecuencia inmediata se tiene que la energía y el momento
de la partícula también lo son.
De hecho, es posible demostrar que la relación entre los valores de energía medidos por dos observadores con velocidad relativa V tiene la forma
de la transformación de Lorentz para el tiempo:
Llamemos
a la energía de la luz que emite la bombilla desde el punto de vista
de la propia bombilla, es decir:
Podemos escribir entonces que
Para expresar el momento lineal en función de la energía recurrimos al invariante
En relatividad, un invariante es una expresión cuyo valor es siempre el mismo, independientemente del sistema de referencia en el que se evalúe.
El término de la izquierda en la expresión anterior es un invariante porque
su evaluación en cualquier sistema de referencia produce el mismo valor
Como en nuestro caso la masa en reposo es igual a cero (masa en reposo de un fotón), calculando el invariante en el sistema de referencia de la bombilla es fácil llegar a
Donde hemos tomado la solución negativa porque la luz está viajando hacia la izquierda. Llevando este resultado a la transformada de Lorentz
para la energía
O bien
Con esta ecuación estamos llegando al clímax de esta entrada.
Si comparamos esta última expresión con la obtenida para la frecuencia
nos damos cuenta de que son exactamente iguales.
Esta relación se cumple para cualquier par de sistemas de referencia inerciales, cualquiera que sea su velocidad relativa.
Por tanto la división de la energía y la frecuencia para una onda electromagnética debe ser una constante universal, a la que llamaremos h
A partir de un análisis relativista del efecto Doppler hemos llegado a la que se conoce como hipótesis de Planck: la energía está cuantizada.
La energía de un fotón viene dada por su frecuencia de acuerdo
a la expresión anterior.
Si lanzamos un paquete de fotones, transmitiremos una energía igual a:
No es posible aumentar o disminuir la energía del paquete de fotones en una cantidad arbitraria, sólo podemos modificarla en un valor que sea múltiplo entero de 
Así que a pesar de todos los problemas que se presentan cuando se intenta combinar la mecánica cuántica con la teoría de la relatividad,
es posible obtener el fundamento cuántico más básico a partir de
un sencillo análisis relativista.
Sorprendentemente, ambas teorías encajan en sus fundamentos más
de lo que a primera vista pudiera parecer.
