Siendo un poco osado me atrevería a decir que la ley de Murphy
es el enunciado científico más conocido de nuestros días.
Si, ya saben, aquella que dice que la tostada siempre caerá por
el lado de la manteca.
A partir de este sencillo enunciado Arthur Bloch desarrolla en su libro toda la murphyología moderna:
una curiosa ciencia con aplicaciones en todos los ámbitos de la vida.
“Si algo puede salir mal saldrá mal"
(o la tostada siempre cae por el lado de la manteca)
Tras leer detenidamente este genial libro me pregunte sobre la credibilidad científica de algo tan aceptado como la ley de Murphy,
y me decidí a esbozar una demostración matemática que indicara,
al menos en el marco de la mecánica analítica (sí, esa que se da en segundo de carrera, con sus hamiltonianos y lagrangianos y todo ese formalismo hiperpotente), por qué la tostada siempre cae por el lado de la mantequilla. Pueden decir que soy medio chiflado, pero
¿se puede hacer algo más divertido con un lagrangiano?
Aunque de esto hace ya unos 4 años he conseguido, a pesar de la degeneración neuronal sufrida por los largos años de carrera, repetir aquella demostración, y les presento los resultados fundamentales de mis “investigaciones”
Demostración analítica de la Ley de Murphy
(o de cómo perdí varias tardes con un lagrangiano imposible)
Lo primero de lo que hay que darse cuenta al tratar con una tostada es de que es ¡SIMÉTRICA! Consideraremos una tostada “cuadrada” o “redonda”.
Además la consideraremos homogénea (ya sé que el pan a veces tiene agujeros gordos, pero supongamos que tenemos una de esas
tostadas ideales de los anuncios).
Comentario de O’tooles sobre la ley de Murphy:
“Murphy era un optimista”
Es obvio que al aplicar la manteca se rompe la homogeneidad de la tostada, pero dada su simetría podemos reducir el sistema a un simple palote rígido e inextensible que une dos masas: una pequeña, que representa la parte de pan “de abajo” y otra más grande que hace las veces de mantequilla + pan.
Por supuesto consideramos un sistema lógico estándar en el que el todo
es mayor que las partes.
Si hacemos la aproximación de “manteca pesada” podemos considerar
la masa pequeña despreciable frente a la grande.
Aún así, todos estos problemas se pueden obviar poniendo el sistema
de referencia en la masa pequeña.
Si así lo hacemos nos quedará un sistema como el de la figura.
Fig.1 La secuencia de imágenes muestra la reducción de la tostada murphyana a un péndulo simple en posición invertida.
El sistema se muestra en perspectiva y en vista de planta y perfil.
La masa grande viene a representar la mitad superior de la tostada
(la que tiene manteca) más pesada que la mitad inferior que no tiene nada más que pan.
En la última imagen se muestra el sistema final sobre
el cual haremos el resto de cálculos
De todo esto es fácil ver que el sistema tiene un único grado de libertad:
el ángulo θ. Conociendo esto es sencillo obtener la energía cinética
y la potencial del sistema.
Los lectores más avezados podrán intuir que construiremos
un lagrangiano.
Energía cinética
Energía Potencial
La construcción del lagrangiano es inmediata.
Que resolvemos por el modo habitual para obtener una expresión para el ángulo en función del tiempo:
Los que entiendan de esto ya habrán dejado de leer este artículo,
y para los que aún no se hayan dado cuenta les diré que es trivial ver
que se trata de un sencillo ejemplo de problema esencialmente no lineal:
¡Se trata de la ecuación para un péndulo no amortiguado de masa m!
De acuerdo, retiro lo de trivial, quizás sea una de esas palabras que debiera eliminarse del vocabulario matemático (sobre todo en las aulas).
Quizás por nuestra condición de “hombrecitos verticales” con cabeza
en dirección contra la gravedad nos cueste darnos cuenta
de que el sistema es un péndulo.
Es bien conocido por todos que los péndulos tienden a estar con masa
para abajo, y eso mismo es lo que intenta hacer nuestra tostada con la mantequilla para abajo.
En el colmo de la sofisticación (jeje) podemos expresar esta ecuación
en el diagrama de fases de la figura 2:
Fig.2 Este mapa de fases representa la posición del péndulo (ángulo θ)
en el eje x, y la velocidad angular en el eje y.
Durante su movimiento el sistema ocupa puntos del mapa de fases:
es decir, en cada instante el péndulo se halla en una posición
y con una velocidad angular.
Por supuesto, no está prohibido que el sistema pase dos veces
por el mismo punto.
El sistema presenta una serie de trayectorias cerradas que corresponden
a oscilaciones del péndulo con amplitudes menores de 2π.
Si la energía inicial supera un cierto valor el péndulo da vueltas completas sin descanso (esta situación corresponde a las trayectorias superior e inferior).
Los puntos de θ=0,2π,… son puntos silla, y corresponden a la situación
de la masa del péndulo arriba.
Los puntos de θ= π, 3π,… corresponden a focos, con la masa del péndulo colgando en “su sitio” en situación de mínima energía y oscilando
en torno a esta posición.
Sin embargo nos encontramos con una tostada que, dependiendo del ángulo
y de la velocidad iniciales, acaba oscilando con una cierta amplitud en torno
a la posición de “manteca para abajo”.
Nótese que esto no asegura que la tostada acabe
“emplastada” contra el suelo.
Ley de la perversidad de la naturaleza:
“No se puede determinar a priori sobre que lado de la tostada
hay que poner la manteca.”
Este problema tan peliagudo necesita de un ingrediente más: el aire.
Esto equivale a añadir al problema una fuerza de amortiguamiento proporcional a la velocidad (como de hecho ocurre con el aire).
En este caso el sistema queda representado por la ecuación
diferencial siguiente:
Que tampoco es una tontería resolverla.
En vez de escribir más observemos el correspondiente mapa de fases de la figura 3:
Fig.3 Atractor Murphyano
Ahora si que lo tenemos. Empiece donde empiece la tostada ésta caerá irremediable y rápidamente (si su velocidad inicial no es excesiva)
hacía uno de los puntos de “manteca hacia abajo”.
Bautizaremos estos puntos como atractores murphyanos.
Minimizando la energía
Tiempo después me di cuenta de que el problema se podía resolver exclusivamente trabajando a nivel de conceptos.
La situación de “manteca para abajo” minimiza claramente la energía del sistema, y se convierte así en la situación “preferida” por el mismo.
Contando con que la tostada cae de nuestra mano con cierta velocidad
de rotación inicial y con que estamos en un sistema no conservativo obtenemos la conclusión adecuada: la tostada cae mientras su movimiento
de rotación tiende a frenarse mientras la tostada puede, por fin, alcanzar su situación de energía mínima, la de “mantequilla para abajo”. Irremediablemente la tostada acaba repartiendo generosamente su manteca con el suelo.
Los potenciales Murphyanos
A día de hoy me adscribo sin reservas a la Teoría de los Potenciales Murphyanos para explicar el caso de la tostada y casi todo lo que acontece
en este murphyano Universo.
La teoría, aún pendiente de matematización rigurosa se basa en los siguientes postulados, indemostrables claro (¿pero no lo son todos por definición?):
- En todo el Universo opera un campo murphyano , que no es homogéneo
ni isótropo ni nada que se le parezca.
- Este campo deriva de un potencial (¡claro!) a partir de las relaciones
de Morgan-Kauchy-Liu
- Si algo puede salir mal saldrá mal, es decir, el potencial Murphyano
es negativo y su integral a todo el Universo se conserva.
Evidentemente, el potencial murphyano es negativo en todo el Universo,
pero admite violaciones locales con consecuencias macroscópicas.
Veamos algunos ejemplos: si usted hecha el dinero justo en la máquina
de coca-colas y le devuelve dos latas y una tonelada de cambio habrá hecho una tremenda brecha en el potencial Murphyano, es decir, localmente se encontrará en una zona de potencial Murphyano positivo.
Quizás las consecuencias de esto hecho no recaigan sobre usted mismo,
pero en otra zona del Universo se estará produciendo una acumulación catastrófica de negatividad murphyana.
Además es probable que la misma máquina, en breve, no devuelva ni lata
ni monedas a un número indeterminado de personas.
Pues bien, y acabo por fin; en este formalismo el hecho de que la tostada caiga siempre por el lado de la manteca se interpreta como una consecuencia inequívoca de la existencia de un potencial Murphyano de fondo.
Así que si no quiere ser presa de una acumulación de negatividad murphyana reemplace las tostadas con manteca por unas ricas medias lunas.
