En matemáticas se llama prolongación de una función a la extensión de su dominio más allá de sus singularidades, que se comportan como frontera entre el dominio original y el extendido. Normalmente, la prolongación requiere incluir algunos cambios de signo en la definición de la función extendida para evitar que aparezcan valores imaginarios puros u otros números complejos. La matemática de la teoría de la relatividad puede ser aplicada a partículas que se mueven a una velocidad mayor que la de la luz (llamadas taquiones) si aceptamos que la masa y la energía de estas partículas pueden adoptar valores imaginarios puros. El problema es que no sabemos qué sentido físico tienen estos valores imaginarios. Un nuevo artículo ha copado algunos medios por presentar una extensión de la teoría de la relatividad a sistemas de referencia superlumínicos basada en una prolongación de sus ecuaciones.
El artículo de Hill y Cox no ofrece ninguna justificación física y obviamente no existe ningún experimento que puede refutar sus ideas (por tanto, no se trata de una teoría en el sentido de Popper). Sin embargo, creo que merece la pena dedicarle una entrada en este blog para aclarar estas ideas, pues hay cierta confusión al respecto en los medios que se han hecho eco de la noticia.
El artículo técnico es James M. Hill, Barry J. Cox, “Einstein’s special relativity beyond the speed of light,” Proc. R. Soc. A, published online 3 October 2012.
Hay tres cosas a tener en cuenta a la hora de realizar una prologación de la teoría de la relatividad especial de Einstein a velocidades superluminínicas.
Lo primero, hay que prolongar varias funciones que presentan diversas singularidades, por ello, no existe una única solución; Hill y Cox presentan dos posibles prolongaciones y comentan los argumentos por los que prefieren una de ellas (sus argumentos son matemáticos, no físicos).
Lo segundo, la prolongación de una función requiere extenderla hasta el infinito y hay que imponer una condición de cierre (una condición de contorno en el infinito) que normalmente introduce algún parámetro libre, cuya valor
es arbitrario; en la primera versión de la teoría de Hill y Cox se selecciona
el momento de la partícula para velocidad infinita, cuya única ventaja es que la masa de la partícula es un número real a todas las velocidades, y en la segunda se selecciona un valor finito para la masa de la partícula a velocidad infinita.
Y lo tercero, la prolongación de una función requiere algún tipo de guía, siendo
lo habitual preservar algún invariante; en el caso de Hill y Cox se ha utilizado la fórmula de adición de velocidades de Einstein que no es singular cuando se aplica más allá de la velocidad de la luz.
Fórmula relativista de adición de velocidades indicando las regiones donde el resultado es superlumínico (naranja y amarillo).
La prolongación de la teoría de la relatividad para velocidades 0 ≤ v ≤ c, a velocidades c < v < ∞, requiere una condición matemática para v = ∞.
Hill y Cox utilizan como guía la fórmula de adición de velocidades de Einstein,
U = (u+v)/(1+uv/c²), que para v = ∞ implica que uU=c².
La razón que esgrimen es que esta fórmula no es singular para v=c, como otras fórmulas de la teoría de la relatividad; ello no quita que presente una singularidad para uv=-c² (las dos hipérbolas que se observan en la figura que abre esta entrada).
El resultado de esta fórmula es superlumínico |U|>c, en ciertas regiones del plano (u,v), indicadas en naranja y amarillo en la figura de arriba, siendo sublíminico |U|
La idea de Hill y Cox es que la prolongación del resto de las fórmulas de la relatividad de Einstein se ha de realizar de tal forma que se preserve como invariante la relación uU=c² para v = ∞.
Esta idea matemática no tiene una interpretación física clara, siendo el argumento más firme en contra de la nueva teoría.
La fórmula más emblemática de la teoría de la relatividad de Einstein es E=mc², para p=v=0 (donde m es la masa y p es el momento lineal). ¿Qué fórmula proponen Hill y Cox para v = ∞? La prolongación analítica se puede realizar de muchas formas pero Hill y Cox nos ofrecen dos posibilidades diferentes.
La primera, que es la que más les gusta a ellos, se basa en la siguiente idea.
Si la masa m es una propiedad intrínseca de la partícula que caracteriza su energía en reposo, entonces debe haber un valor fijo del momento p∞ que caracteriza su energía a velocidad infinita. Por tanto, E=p∞c para v = ∞.
Esta fórmula ad hoc implica que en la fórmula E(v)=m(v)c², la “masa” m(v) es un número real para todas las velocidades dado por m(v)=m(0)/(1-(v/c)²)1/2, para 0 ≤ v ≤ c, y m(v)=(p∞/c)/((v/c)²-1)1/2, para c < v < ∞.
Por el contrario, la segunda posibilidad se basa en asumir que además de la masa en reposo m, la partícula se caracteriza por un valor de la masa m∞ para velocidad infinita, con lo que la segunda fórmula cambia
a m(v)=(m∞v/c)/((v/c)²-1)1/2, para c < v < ∞.
En resumen, se trata de un artículo matemático curioso que extiende la teoría de la relatividad de Einstein a sistemas inerciales que se mueven a velocidad arbitraria, menor, igual o mayor que la velocidad de la luz.
No hay una justificación física de las fórmulas que se presentan, pues no hay ningún experimento físico que sirva de guía (Hill y Cox confiesan que el origen de este artículo fue la noticia de los neutrinos superlumínicos en OPERA). Considerar la fórmula de adición de velocidades de Einstein como válida a todas las velocidades no parece un mal principio, pero los autores no discuten qué significado físico pueden tener las singularidades que aparecen en dicha fórmula para uv=-c².
Por cierto, quizás te lo estés preguntando, ¿viola la causalidad la nueva teoría? Los autores no lo discuten en su artículo y nos indican en sus conclusiones que será tema de futuras investigaciones.
Pero como es obvio no hay que pensar mucho para darse cuenta de que la causalidad es violada en las regiones naranja y amarilla de la figura de arriba. ¿Permite la nueva teoría los viajes en el tiempo hacia el pasado?
Obviamente, los permite (basta recordar el antiteléfono de Tolman, 1917, para ver que no está prohíbido). ¿Quiere esto decir que se puede descartar la teoría desde un punto de vista físico? Pues así es, al menos en mi opinión. Pero, recuerda, el artículo de Hill y Cox no discute estos escabrosos asuntos de su teoría (los relega a líneas futuras de investigación).
¿Por qué no? Quizás para que no fuera rechazado por un revisor sin más. Evitando acercarte al veneno que puede matarte quizás
logres sobrevivir a sus efluvios.
