Bellezas numéricas
Las ecuaciones matemáticas no sólo son útiles, muchas de ellas son muy bellas.
Las ecuaciones matemáticas no sólo son útiles, muchas de ellas son muy bellas.
Y muchos científicos admiten que, a menudo, son aficionados a unas fórmulas en particular no sólo por su función, sino por su forma, y las verdades simples y poéticas que contienen.
Mientras que ciertas ecuaciones famosas, como la E=mc^2 de Albert Einstein, acaparan la mayor parte de la gloria pública, muchas otras fórmulas, menos familiares, suelen ser las favoritas entre los científicos. LiveScience ha preguntado a físicos, astrónomos y matemáticos sobre sus ecuaciones favoritas, esto es lo que nos encontramos:
1 - Relatividad General
Esta ecuación fue formulada por Einstein como parte de su revolucionaria teoría general de la relatividad en 1915. La teoría revolucionó la forma de entender la gravedad, mediante la descripción de la fuerza como una deformación de la estructura del espacio-tiempo.
"Todavía sorprende que una ecuación matemática, pueda describir todo lo que el espacio-tiempo tienen que ver", dijo Mario Livio, del Institute astrofísico Space Telescope Science, que denominó dicha ecuación como su favorita. "Todo el genio de Einstein se materializa en esta ecuación."
"La parte derecha de esta ecuación describe el contenido de energía de nuestro universo", explicó Livio, "La parte izquierda describe la geometría del espacio-tiempo. La igualdad refleja el hecho de que la relatividad general de Einstein, la masa y la energía determinan la geometría y, paralelamente, la curvatura, que es una manifestación de lo que llamamos gravedad.""Es una ecuación muy elegante", dijo Kyle Cranmer, físico de la Universidad de Nueva York, esta ecuación pone de manifiesto la relación entre el espacio-tiempo y la materia y la energía.
"Todavía sorprende que una ecuación matemática, pueda describir todo lo que el espacio-tiempo tienen que ver", dijo Mario Livio, del Institute astrofísico Space Telescope Science, que denominó dicha ecuación como su favorita. "Todo el genio de Einstein se materializa en esta ecuación."
"La parte derecha de esta ecuación describe el contenido de energía de nuestro universo", explicó Livio, "La parte izquierda describe la geometría del espacio-tiempo. La igualdad refleja el hecho de que la relatividad general de Einstein, la masa y la energía determinan la geometría y, paralelamente, la curvatura, que es una manifestación de lo que llamamos gravedad.""Es una ecuación muy elegante", dijo Kyle Cranmer, físico de la Universidad de Nueva York, esta ecuación pone de manifiesto la relación entre el espacio-tiempo y la materia y la energía.
2 - Modelo Estándar
Otra de las teorías físicas reinantes, el modelo estándar, describe el conjunto de partículas fundamentales que actualmente se cree que forman nuestro universo.
La teoría puede resumirse en una ecuación principal llamada modelo estándar de Lagrange (en honor al matemático y astrónomo del siglo XVIII, Joseph Louis Lagrange), la cual fue elegida por el físico teórico Lance Dixon, del SLAC National Accelerator Laboratory en California, como su fórmula favorita .
"Se han descrito con éxito todas las partículas elementales y las fuerzas que hemos observado en el laboratorio hasta la fecha, con excepción de la gravedad", dijo Dixon. "Eso incluye, por supuesto, el recien descubierto boson de Higgs, phi en la fórmula. Es auto-consistente con la mecánica cuántica y la relatividad especial."
La teoría del modelo estándar aún no se ha unido con la relatividad general, por lo que no se puede describir la gravedad.
La teoría puede resumirse en una ecuación principal llamada modelo estándar de Lagrange (en honor al matemático y astrónomo del siglo XVIII, Joseph Louis Lagrange), la cual fue elegida por el físico teórico Lance Dixon, del SLAC National Accelerator Laboratory en California, como su fórmula favorita .
"Se han descrito con éxito todas las partículas elementales y las fuerzas que hemos observado en el laboratorio hasta la fecha, con excepción de la gravedad", dijo Dixon. "Eso incluye, por supuesto, el recien descubierto boson de Higgs, phi en la fórmula. Es auto-consistente con la mecánica cuántica y la relatividad especial."
La teoría del modelo estándar aún no se ha unido con la relatividad general, por lo que no se puede describir la gravedad.
3 - Cálculo
Mientras que las dos primeras ecuaciones describen aspectos particulares de nuestro universo, hay otra de las ecuaciones favoritas que se puede aplicar a todo tipo de situaciones. El teorema fundamental del cálculo es la columna vertebral del método matemático conocido como cálculo, y que enlaza las dos ideas principales, el concepto de integral y el concepto de derivada.
"En otras palabras, nos dice que el cambio neto de una cantidad uniforme y continua, como puede ser una distancia recorrida, durante un intervalo de tiempo dado (p. ej., la diferencia en los valores de cantidad en los puntos extremos del intervalo de tiempo) es igual a la integral de la velocidad de cambio de dicha cantidad, es decir, la integral de la velocidad", explicaba Melkana Brakalova-Trevithick, presidenta del departamento de matemáticas en la Universidad de Fordham, que eligió esta ecuación como su favorita. "El teorema fundamental del cálculo nos permite determinar el cambio neto de un intervalo basado en la tasa de cambio del intervalo entero".
La semilla de este teorema comenzó en la antigüedad, pero gran parte fue elaborado en el siglo XVII por Isaac Newton, que utilizó dicho cálculo para describir el movimiento de los planetas alrededor del Sol.
"En otras palabras, nos dice que el cambio neto de una cantidad uniforme y continua, como puede ser una distancia recorrida, durante un intervalo de tiempo dado (p. ej., la diferencia en los valores de cantidad en los puntos extremos del intervalo de tiempo) es igual a la integral de la velocidad de cambio de dicha cantidad, es decir, la integral de la velocidad", explicaba Melkana Brakalova-Trevithick, presidenta del departamento de matemáticas en la Universidad de Fordham, que eligió esta ecuación como su favorita. "El teorema fundamental del cálculo nos permite determinar el cambio neto de un intervalo basado en la tasa de cambio del intervalo entero".
La semilla de este teorema comenzó en la antigüedad, pero gran parte fue elaborado en el siglo XVII por Isaac Newton, que utilizó dicho cálculo para describir el movimiento de los planetas alrededor del Sol.
4 - Teorema de Pitágoras
Una "vieja pero hermosa" ecuación es el famoso teorema de Pitágoras, que todo estudiante de geometría debe aprender.
Esta fórmula describe cómo, para cualquier triángulo rectángulo, el cuadrado de la longitud de la hipotenusa (el lado más largo de un triángulo rectángulo) es igual a la suma de los cuadrados de las longitudes de los otros dos lados.
Esta fórmula describe cómo, para cualquier triángulo rectángulo, el cuadrado de la longitud de la hipotenusa (el lado más largo de un triángulo rectángulo) es igual a la suma de los cuadrados de las longitudes de los otros dos lados.
5 - La ecuación de Euler
Esta simple fórmula resume lo puro de la naturaleza de las esferas:
"Se dice que si se corta la superficie de una esfera en caras, aristas y vértices, y ya sea F el número de caras, E el número de aristas y V el número de vértices, siempre se obtendrá V - E + F = 2", dijo Colin Adams, un matemático del Williams College en Massachusetts.
"Así que, por ejemplo, tomamos un tetraedro, que consta de cuatro triángulos, seis aristas y cuatro vértices", explicaba. "Si usted soplara con fuerza en un tetraedro con caras flexibles, podría redondearlo en una esfera; en este sentido, una esfera podría cortarse en cuatro caras, seis aristas y cuatro vértices. Luego vemos, V - E + F = 2. Lo mismo vale para una pirámide de cinco caras (cuatro triángulos y un cuadrado) ocho aristas y cinco vértices", y cualquier otra combinación de caras, aristas y vértices.
"Es genial. La combinatoria de vértices, aristas y caras es la captura de algo muy fundamental sobre la forma de una esfera", comentó Adams.
"Se dice que si se corta la superficie de una esfera en caras, aristas y vértices, y ya sea F el número de caras, E el número de aristas y V el número de vértices, siempre se obtendrá V - E + F = 2", dijo Colin Adams, un matemático del Williams College en Massachusetts.
"Así que, por ejemplo, tomamos un tetraedro, que consta de cuatro triángulos, seis aristas y cuatro vértices", explicaba. "Si usted soplara con fuerza en un tetraedro con caras flexibles, podría redondearlo en una esfera; en este sentido, una esfera podría cortarse en cuatro caras, seis aristas y cuatro vértices. Luego vemos, V - E + F = 2. Lo mismo vale para una pirámide de cinco caras (cuatro triángulos y un cuadrado) ocho aristas y cinco vértices", y cualquier otra combinación de caras, aristas y vértices.
"Es genial. La combinatoria de vértices, aristas y caras es la captura de algo muy fundamental sobre la forma de una esfera", comentó Adams.
6 - La relatividad especial
Einstein entra de nuevo en la lista con su fórmula de la relatividad especial, que describe cómo el tiempo y el espacio no son conceptos absolutos, sino relativos, dependiendo de la velocidad del observador. La ecuación anterior muestra cómo el tiempo se dilata, o se ralentiza, cuanto más o menos rápido se mueva una persona en cualquier dirección.
"El punto es realmente muy simple", dijo Murray Bill, físico de partículas en el laboratorio del CERN en Ginebra. "No hay nada allí que un estudiante de un nivel A no pueda hacer, sin derivadas complejas ni trazar álgebras. Pero lo que encarna es una nueva forma de ver el mundo, una actitud hacia la realidad y nuestra relación con ella. De repente, se ha barrido y reemplazado el rígido e inmutable cosmos por un mundo personal, en relación con lo que se observa. Se pasa de estar fuera del universo, mirándolo hacia abajo, a ser uno de los componentes de su interior. Pero los conceptos y las matemáticas pueden ser captados por cualquier persona que quiera hacerlo".
Murray dijo que prefería las ecuaciones de la relatividad especial a las posteriores fórmulas más complicadas de la teoría de Einstein. "Nunca pude seguir las matemáticas de la relatividad general", dijo.
"El punto es realmente muy simple", dijo Murray Bill, físico de partículas en el laboratorio del CERN en Ginebra. "No hay nada allí que un estudiante de un nivel A no pueda hacer, sin derivadas complejas ni trazar álgebras. Pero lo que encarna es una nueva forma de ver el mundo, una actitud hacia la realidad y nuestra relación con ella. De repente, se ha barrido y reemplazado el rígido e inmutable cosmos por un mundo personal, en relación con lo que se observa. Se pasa de estar fuera del universo, mirándolo hacia abajo, a ser uno de los componentes de su interior. Pero los conceptos y las matemáticas pueden ser captados por cualquier persona que quiera hacerlo".
Murray dijo que prefería las ecuaciones de la relatividad especial a las posteriores fórmulas más complicadas de la teoría de Einstein. "Nunca pude seguir las matemáticas de la relatividad general", dijo.
7 - 1 = 0,999999999 ....
Esta simple ecuación, que establece que la cantidad de 0,999, seguida de una cadena infinita de nueves, es equivalente a uno, es la favorita de Steven Strogatz matemático de la Universidad de Cornell.
"Me encanta lo fácil que es, todo el mundo dice que la entiende, sin embargo, es muy provocativa", señaló Strogatz. "Muchas genete no cree que pueda ser verdad. Está también muy bien equilibrada. El lado izquierdo representa el inicio de las matemáticas, el lado derecho representa los misterios del infinito."
"Me encanta lo fácil que es, todo el mundo dice que la entiende, sin embargo, es muy provocativa", señaló Strogatz. "Muchas genete no cree que pueda ser verdad. Está también muy bien equilibrada. El lado izquierdo representa el inicio de las matemáticas, el lado derecho representa los misterios del infinito."
8 - Ecuaciones Euler-Lagrange y el teorema de Noether
"Hay mucha abstracción, pero son increíblemente poderosas", dijo Cranmer, de la Universidad de Nueva York. "Lo genial es que esta manera de pensar acerca de la física ha sobrevivido a algunas de las más grandes revoluciones de la física, como la mecánica cuántica, la relatividad, etc."
Aquí, la L representa la función lagrangiana, que es una medida de la energía en un sistema físico, como resortes o palancas, o partículas fundamentales. "Resolver esta ecuación nos explica cómo el sistema evolucionará con el tiempo," dijo Cranmer.Un derivada de la ecuación lagrangiana se llama el teorema de Noether, después del 20 del siglo matemático alemán Emmy Noether. "Este teorema es realmente fundamental para la física y el rol de la simetría", dijo Cranmer. "Informalmente, el teorema viene a decir que si el sistema tiene simetría, entonces existe la correspondiente ley de conservación. Por ejemplo, la idea de que las leyes fundamentales de la física son las mismas hoy y mañana (simetría temporal) implica que la energía se conserva. El idea de que las leyes de la física son las mismas aquí que en el espacio exterior implica que el momentum se conserva. La simetría es quizá el concepto conductor en física fundamental, gracias principalmente a la contribución de Noether."
Aquí, la L representa la función lagrangiana, que es una medida de la energía en un sistema físico, como resortes o palancas, o partículas fundamentales. "Resolver esta ecuación nos explica cómo el sistema evolucionará con el tiempo," dijo Cranmer.Un derivada de la ecuación lagrangiana se llama el teorema de Noether, después del 20 del siglo matemático alemán Emmy Noether. "Este teorema es realmente fundamental para la física y el rol de la simetría", dijo Cranmer. "Informalmente, el teorema viene a decir que si el sistema tiene simetría, entonces existe la correspondiente ley de conservación. Por ejemplo, la idea de que las leyes fundamentales de la física son las mismas hoy y mañana (simetría temporal) implica que la energía se conserva. El idea de que las leyes de la física son las mismas aquí que en el espacio exterior implica que el momentum se conserva. La simetría es quizá el concepto conductor en física fundamental, gracias principalmente a la contribución de Noether."
9 - Ecuación Callan-Symanzik
"La ecuación Callan-Symanzik es parte vital de primera ecuación principal de 1970, esencial para describir cómo las ingenuas expectativas fallarán en un mundo cuántico", comentaba el físico teórico, Matt Strassler, de la Universidad de RutgersLa ecuación tiene numerosas aplicaciones, incluyendo la de permitir a los físicos calcular la masa y el tamaño del protón y el neutrón, que constituyen el núcleo de los átomos.
La física básica nos dice que la fuerza gravitacional y la fuerza eléctrica entre dos objetos es proporcional a la inversa de la distancia entre ellos al cuadrado. A un nivel simple, lo mismo es verdad para la fuerza nuclear fuerte, que une los protones y los neutrones, para formar los núcleos de los átomos, y que une a los quarks para formar protones y neutrones. Sin embargo, pequeñas fluctuaciones cuánticas pueden alterar ligeramente la dependencia de la fuerza sobre la distancia, lo cual tiene consecuencias drásticas para la fuerza nuclear fuerte."Esto evita que esta fuerza decrezca en las distancias largas, y origina que atrape los quarks y los combine para formar los protones y los neutrones de nuestro mundo", explicó Strassler. "Lo que hace la ecuación Callan-Symanzik es relacionar este drástico y difícil efecto de calculo, muy importante cuando la distancia es aproximadamente del tamaño de un protón, los más sutiles pero más fáciles efectos de calculo, se pueden medir cuando la distancia es mucho menor que un protón."
La física básica nos dice que la fuerza gravitacional y la fuerza eléctrica entre dos objetos es proporcional a la inversa de la distancia entre ellos al cuadrado. A un nivel simple, lo mismo es verdad para la fuerza nuclear fuerte, que une los protones y los neutrones, para formar los núcleos de los átomos, y que une a los quarks para formar protones y neutrones. Sin embargo, pequeñas fluctuaciones cuánticas pueden alterar ligeramente la dependencia de la fuerza sobre la distancia, lo cual tiene consecuencias drásticas para la fuerza nuclear fuerte."Esto evita que esta fuerza decrezca en las distancias largas, y origina que atrape los quarks y los combine para formar los protones y los neutrones de nuestro mundo", explicó Strassler. "Lo que hace la ecuación Callan-Symanzik es relacionar este drástico y difícil efecto de calculo, muy importante cuando la distancia es aproximadamente del tamaño de un protón, los más sutiles pero más fáciles efectos de calculo, se pueden medir cuando la distancia es mucho menor que un protón."
10 - La ecuación de superficie mínima
"La ecuación de superficie mínima de algún modo codifica una hermosa película de jabón que se forma justo en la frontera cuando chapoteas en esa agua jabonosa", recreaba el matemático Frank Morgan, del Williams College. "El hecho es que una ecuación "no lineal" que implica potencia y productos de derivados, es una pista codificada matemática del sorprendente comportamiento de las películas de jabón. Esto contrasta con las más familiares lineales parciales de las ecuaciones diferenciales, como la ecuación del calor, la ecuación de onda y la ecuación de Schrödinger de la física cuántica."
11 - La recta de Euler
Glen Whitney, fundador del Museo de Matemáticas de Nueva York, eligió otro teorema geométrico, que tiene que ver con la recta de Euler, nombrada así en honor al matemático y físico suizo, Leonhard Euler.
"Empieza con un triángulo", explicaba Whitney. "Dibujar el círculo más pequeño que contiene al triángulo y encuentra su centro. Hallar el centro de masa de un triángulo (que es el punto del triángulo que si se recorta en una hoja de papel, sería su punto de equilibrio sobre un alfiler). Dibujar las tres alturas de un triángulo (las líneas de cada esquina perpendiculares a su lado opuesto), y encontrar el punto donde se encuentran. El teorema trata de que los tres puntos que acabamos de hallar siempre se extienden en una sola línea recta, llamada 'recta de Euler line' de un triángulo."
Whitney dijo que este teorema resume la belleza y el poder de las matemáticas, que a menudo revela unos patrones sorprendentes de formas simples y familiares.
"Empieza con un triángulo", explicaba Whitney. "Dibujar el círculo más pequeño que contiene al triángulo y encuentra su centro. Hallar el centro de masa de un triángulo (que es el punto del triángulo que si se recorta en una hoja de papel, sería su punto de equilibrio sobre un alfiler). Dibujar las tres alturas de un triángulo (las líneas de cada esquina perpendiculares a su lado opuesto), y encontrar el punto donde se encuentran. El teorema trata de que los tres puntos que acabamos de hallar siempre se extienden en una sola línea recta, llamada 'recta de Euler line' de un triángulo."
Whitney dijo que este teorema resume la belleza y el poder de las matemáticas, que a menudo revela unos patrones sorprendentes de formas simples y familiares.
