miércoles, 22 de mayo de 2013

Algunos conceptos básicos sobre ondas, el disfraz de Sheldon y la expansión del universo

En un blog de física hay algunos conceptos que aparecen continuamente, como la longitud y frecuencia de una onda. Así que en esta entrada vamos a explicar algunos conceptos básicos de ondas. Para ello hablaremos del disfraz de Sheldon, perdón, del efecto doppler, de su relación con la expansión del universo y de las multas de tráfico.

Sheldon con su disfraz de efectod dopple

Algunos conceptos básicos sobre ondas

longitud y amplitud de una onda
Longitud de onda (\lambda): 
Es la distancia mínima recorrida en el espacio hasta que la función de onda se repite. En la imagen se mide entre dos crestas de la onda.
Amplitud de onda (A):
 Es la variación máxima del desplazamiento de la onda.
Periodo (T): 
Es el tiempo en el que la onda se mueve una distancia igual a una longitud de onda (\lambda).
Frecuencia de la onda (f): 
Es la inversa del periodo, es decir f = \frac{1}{T}. 
Mide el número de veces que la onda se mueve una distancia igual a su longitud de onda por segundo.
 La unidad utilizada es el Herzio (Hz) que equivale a \frac {1}{s}.
El periodo y la frecuencia se relacionan con la velocidad y la longitud de onda de la siguiente forma:
v = \frac{\lambda}{T} = f\lambda
Foco de una onda: lugar desde el que se origina la onda.

El disfraz de Sheldon

En un capítulo de Big Bang Theory, los protagonistas acuden a una fiesta de disfraces de Penny y Sheldon se disfraza de efecto doppler, aunque mucha gente acaba confundiéndolo con una cebra. Pero ¿qué es el efecto doppler y por qué Sheldon no paraba de decir“fiuuuuuuuuuuuuum”?
Cuando un foco productor de ondas y un receptor se mueven un respecto a otro, la frecuencia recibida por el receptor no es la misma que la emitida por el foco. 
Si se acercan, la frecuencia aumenta. Y si se alejan, la frecuencia será menor para el receptor. 
La forma más fácil de entenderlo es pensando en una ambulancia que se acerca hasta nuestra posición y luego se aleja y la forma en la que cambia el sonido de la sirena según esta se acerque o se aleje.
Ahora imaginemos un ladrón (2) que ha hecho saltar la alarma de una tienda (foco emisor) y se aleja rápidamente del lugar del crimen. Mientras, la policia (1) se acerca a la tienda para ver lo que está pasando. 
En la siguiente animación podemos ver gráficamente como perciben el sonido de la sirena la policía y el ladrón:
Diferencia en las longitudes de onda percibidas cuando un objeto se aleja o acerca al foco emisor de una onda.
La onda que aparece en el centro es el sonido (en dos dimensiones para simplificar) emitido por la alarma de la tienda, que en este caso estaría a la izquierda de la misma.
El punto 1 (la policía) se acerca a la tienda y podemos ver cómo al acercarse percibe el sonido a una frecuencia mayor (o longitud de onda menor).
 En la parte alta de la imagen (onda roja punteada) se va mostrando la “forma” de la onda que percibe a medida que se acerca. La policía escuchará la alarma con un sonido más agudo que el habitual.
El punto 2 (el ladrón) se aleja de la tienda y podemos ver en la parte baja de la imagen cómo percibe la onda con una frecuencia menor y por tanto una longitud de onda mayor.
 El ladrón escuchará la alarma con un sonido más grave que el habitual.
La función para el cálculo de la frecuencia percibida por un receptor es:
f_r = \frac{v \pm u_r}{v \pm u_f} f_f donde
- f_r, es la frecuencia percibida por el receptor
- v, es la velocidad de transmisión de la onda en el medio en el que se produce
- u_r, es la velocidad del receptor (cero si está fijo).
- u_f, es la velocidad del foco (cero si está fijo).
- f_f, es la frecuencia a la que el foco emitió la onda

Si el foco se está acercando al emisor, restamos a la velocidad de la onda u_f, de forma que la frecuencia aumenta. Si el foco se aleja, usaríamos el signo positivo en el denominador.
Si el receptor se acerca al emisor, usamos el signo más en el numerador; si se está alejando, usamos el signo negativo.
Por ejemplo, si un coche se acerca hacia nosotros a una velocidad de 34 m/s, el sonido que generaría nos llegaría con una frecuencia:
f_r = \frac{343m/s}{343 m/s - 34 m/s} f_f = 1,11 f_f 
donde 343 m/s es la velocidad a la que se transmite el sonido en el aire.
Es decir, se percibe una frecuencia mayor que la emitida y en el caso del sonido lo que percibimos es un tono más agudo.
En cambio, cuando el coche se aleje respecto a nosotros a la misma velocidad, tendremos
f_r = \frac{343 m/s}{343m/s + 34 m/s} f_f = 0,91 f_f
la cual es una frecuencia menor que la emitida, que se traduce en un sonido más grave. 
Así que escucharíamos el típico “fiuuuuuuuuuuuum”,  en el que percibimos el sonido mucho más agudo cuando se acerca y el sonido se vuelve mucho más grave cuando se aleja.

La expansión del universo

Cuando aplicamos el efecto doppler a las ondas electromagnéticas, que incluyen la luz visible, debemos tener en cuenta un detalle muy importante. 
Las ondas electromagnéticas se transmiten a la velocidad de la luz (c), y por tanto les afecta la relatividad. Pero el concepto es el mismo.
A velocidades cercanas a la luz, el factor de Lorentz es importante en los cálculos: 
\gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - (v^2/c^2)}}. 
Tendremos un apartado sobre la transformación de Lorentz dentro de poco en este blog.
Finalmente las ecuaciones que se obtienen para el efecto doppler relativista son los siguientes:
f' = \sqrt{\frac{1 + (v/c)}{1 + (v/c)}}f_0 para un foco y un receptor que se aproximan
f' = \sqrt{\frac{1 - (v/c)}{1 + (v/c)}}f_0  para un foco y un receptor que se alejan
siendo v la velocidad a la que se alejan o acercan foco y receptor, y c la velocidad de la luz.
Cuando emisor y receptor se alejan entre sí, la frecuencia de la luz recibida por el receptor se reduce. 
Esto se traduce en un desplazamiento de la luz hacia el color rojo, que es el que tiene una frecuencia menor (y una longitud de onda más amplia) dentro de la luz visible. 
Eldesplazamiento hacia al rojo es la disminución en la frecuencia de la luz recibida, lo que implica un alejamiento (el caso contrario sería el desplazamiento hacia al azul).
 Edwin Hubble pudo calcular la velocidad de alejamiento de varias nebulosas cercanas gracias a este concepto y llegó a la conclusión de que la velocidad con la que éstas se alejaban estaba relacionada con la distancia a la que se encontraban de nuestro planeta, 
siguiendo la expresión v = Hr, donde Hes la constante de Hubble y,
 de paso, determinando la expansión del universo.
El efecto doppler relativista nos ayudó a tener el conocimiento necesario para determinar que el universo se expande, pero este efecto tiene también aplicaciones más mundanas y a veces menos agradables, como son los radares de carretera. 
El radar envía una señal hacia nuestro coche y la compara con la que recibe “rebotada” del mismo. 
Gracias a esa comparación, puede determinar la velocidad a la que se encontraba el lugar donde rebotó la señal (nuestro coche) y, si pasa cierto umbral, disparar la cámara fotográfica. 
Así que ya saben, sean prudentes con la velocidad, que el efecto doppler los vigila.
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