viernes, 17 de mayo de 2013

Café matemático... La desigualdad de Cauchy-Schwarz


El producto escalar de dos vectores {\bf x}, {\bf y} \in \mathbb{R}^n se define mediante la expresión
\displaystyle{{\bf x} \cdot {\bf y} = \sum_{i=1}^n x_iy_i.}
Es fácil comprobar que el producto escalar es una forma bilineal simétrica definida positiva, es decir, que se cumplen las siguientes propiedades.
Proposición (Propiedades del producto escalar)
  1. {\bf x} \cdot {\bf x} \geq 0 y además {\bf x} \cdot {\bf x} = 0 si y sólo si {\bf x}=0,
  2. {\bf x} \cdot {\bf y} = {\bf y} \cdot {\bf x},
  3. ({\bf x}+{\bf y} )\cdot {\bf z} = {\bf x}\cdot {\bf z} + {\bf y}\cdot {\bf z},
  4. (\lambda {\bf x} ) \cdot {\bf y}= \lambda ({\bf x} \cdot {\bf y}).
La norma euclídea de un vector {\bf x} \in \mathbb{R}^n se define como \|{\bf x}\|=({\bf x} \cdot {\bf x})^{1/2}. 
Es evidente que \|{\bf x}\|=0 si y sólo si {\bf x}=0, y que \|\lambda {\bf x}\| = |\lambda | \cdot \|{\bf x}\|.
Teorema (Desigualdad de Cauchy-Schwarz)
Si {\bf x},{\bf y} \in \mathbb{R}^n entonces |{\bf x} \cdot {\bf y} | \leq \|{\bf x}\| \cdot \|{\bf y}\|.
Demostración.
 Consideramos la función definida por p(\lambda)= (\lambda {\bf x} + {\bf y}) \cdot (\lambda {\bf x} + {\bf y}).
Está claro que p(\lambda) \geq 0 para todo \lambda \in \mathbb{R}.

Observemos que
p(\lambda)= ({\bf x} \cdot {\bf x}) \lambda^2 + 2 ({\bf x} \cdot {\bf y}) \lambda + {\bf y} \cdot {\bf y},
es decir, que p(\lambda) es una función polinómica de segundo grado con a lo sumo una raíz real, y por lo tanto su discriminante es no positivo:
\Delta = 4 ({\bf x} \cdot {\bf y})^2 - 4 ({\bf x} \cdot {\bf x})({\bf y} \cdot {\bf y}).
Esta última desigualdad implica |({\bf x} \cdot {\bf y})| \leq ({\bf x} \cdot {\bf x})^{1/2} ({\bf y} \cdot {\bf y})^{1/2}=\|{\bf x} \| \cdot \|{\bf y}\|, como queríamos demostrar.
Corolario (Desigualdad de Minkowski)

Si {\bf x},{\bf y} \in \mathbb{R}^n entonces \|{\bf x} + {\bf y} \| \leq \|{\bf x}\| + \|{\bf y}\|.
Demostración.

Tenemos
\|{\bf x} + {\bf y}\|^2 = ({\bf x} + {\bf y})\cdot ({\bf x} + {\bf y})= {\bf x} \cdot {\bf x} + 2{\bf x} \cdot {\bf y} +{\bf y} \cdot {\bf y} \leq
\leq {\bf x} \cdot {\bf x} + 2\|{\bf x}\| \cdot \|{\bf y}\| +{\bf y} \cdot {\bf y}=(\|{\bf x}\| + \|{\bf y}\|)^2,
y tomando raíces cuadradas se deduce la desigualdad.



Publicado por en