lunes, 20 de mayo de 2013

Café matemático: La regla de la cadena


Teorema. (Regla de la cadena.)
  Sean A \subseteq \mathbb{R}^n,\; B \subseteq \mathbb{R}^m dos conjuntos abiertos y sean f \colon A \to \mathbb{R}^m, \; g \colon B \to \mathbb{R}^m dos aplicaciones tales que f(A) \subseteq B. 
Supongamos que f es diferenciable en a \in A y que g es diferenciable en f(a) \in B. 
Entonces la aplicación g \circ fes diferenciable en a y además se tiene
\displaystyle{D(g \circ f)(a)=Dg(f(a)) \circ Df(a).}

Demostración. Como f es diferenciable en a y como g es diferenciable en f(a) tenemos

\displaystyle{f(x)-f(a)=Df(a)(x-a) + r_1(x),\;\;\; \text{donde}\;\;\lim_{x \to a}\frac{r_1(x)}{\|x-a\|}=0,}
\displaystyle{g(y)-g(f(a))=Dg(f(a))(y-f(a)) + r_2(y),\;\;\; \text{donde}\;\;\lim_{y \to f(a)}\frac{r_2(y)}{\|y-f(a)\|}=0.}
Entonces resulta que
\displaystyle{g(f(x))-g(f(a))= Dg(f(a))(f(x)-f(a)) + r_2(f(x))}
\displaystyle{=Dg(f(a))(Df(a)(x-a)+r_1(x)) + r_2(f(x))}
\displaystyle{=Dg(f(a))\circ Df(a)(x-a)+Dg(f(a))(r_1(x)) + r_2(f(x)).}
Sea ahora r(x)= Dg(f(a))(r_1(x)) + r_2(f(x)), de modo que
\displaystyle{g(f(x))-g(f(a))=Dg(f(a))\circ Df(a)(x-a)+r(x),}
y por lo tanto basta probar que \displaystyle{\lim_{x \to a} \frac{r(x)}{\|x-a\|}=0.} 
Observemos que
\displaystyle{\frac{r(x)}{\|x-a\|}= Dg(f(a))\left (\frac{r_1(x)}{\|x-a\|}\right ) + \frac{r_2(f(x))}{\|x-a\|}.}
Como Dg(f(a)) es continua en el origen y \displaystyle{\lim_{x \to a} \frac{r_1(x)}{\|x-a\|}=0,} 
el primer término de la expresión anterior tiende a cero cuando x \to a, 
y la cuestión se reduce a probar que
\displaystyle{\lim_{x \to a} \frac{r_2(f(x))}{\|x-a\|}=0.}
Como Dg(f(a)) es una aplicación lineal, es continua y por lo tanto está acotada sobre la 
bola unidad B=\{x \in \mathbb{R}^n \colon \|x\| \leq 1\}, 
es decir, que existe una constante M>0 tal que \| Dg(f(a))(x)\| \leq M siempre que \|x \| \leq 1. 
Sea \varepsilon >0. Como \displaystyle{\lim_{y \to f(a)} \frac{r_2(y)}{\|y-f(a)\|},} existe \eta >0tal que si \|y - f(a) \| < \eta 
entonces \displaystyle{\|r_2(y)\| \leq \frac{\varepsilon}{M+1} \|y-f(a)\|.} 
Como f es diferenciable en a, f es continua en a y por lo tanto existe algún \delta^\prime >0 tal que si \|x-a\| < \delta^\prime entonces \displaystyle{ \|f(x)-f(a)\| < \eta.} 
Como \displaystyle{\lim_{x \to a}\frac{r_1(x)}{\|x-a\|}=0,} existe algún \delta^{\prime \prime}>0 tal que si 0 < \|x-a\| < \delta^{\prime \prime}entonces \|r_1(x)\| < \|x-a\|. 
Sea \delta = \min \{\delta^\prime, \delta^{\prime \prime}\}>0. Si 0 < \|x-a\|< \delta entonces
\displaystyle{\|r_2(f(x))\| < \frac{\varepsilon}{M+1} \|f(x)-f(a)\| = \frac{\varepsilon}{M+1} \| Df(a)(x-a)+ r_1(x) \|,}
de modo que
\displaystyle{\frac{\|r_2(f(x))\|}{\|x-a\|} < \frac{\varepsilon}{M+1} \left ( \left \| Df(a)\left (\frac{x-a}{\|x-a\|}\right ) \right \| + \frac{\|r_1(x)\|}{\|x-a\|} \right ) <\frac{\varepsilon}{M+1}(M+1)=\varepsilon.}
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