martes, 28 de mayo de 2013

Café matemático...Condición suficiente de diferenciabilidad


Se dice que una función f \colon A \subseteq \mathbb{R}^n \to \mathbb{R} es de clase C^1 en un punto a \in A si existen las derivadas parciales de f en un entorno de a y son continuas en a.
Teorema. 
Si f \colon A \subseteq \mathbb{R}^n \to \mathbb{R} es de clase C^1 en a \in A entonces f es diferenciable en a.
Las hipótesis del teorema anterior se pueden debilitar del siguiente modo. Basta con que exista una derivada parcial de f en a y que las n-1 derivadas parciales restantes existan en un entorno de a y sean continuas en a. Vamos a demostrar esta versión de la condición suficiente de diferenciabilidad en el siguiente caso especial.
Teorema. 
Sea f \colon A \subseteq \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}, donde A \subseteq \mathbb{R}^2 es abierto y (0,0) \in A. Supongamos que D_1f(0,0) existe, y que D_2f existe en un entorno de (0,0) y es continua en (0,0). Entonces f es diferenciable en (0,0).
Demostración. 
Se trata de probar que
\displaystyle{\lim_{(x,y) \to (0,0)} \frac{f(x,y)-f(0,0) - D_1f(0,0)x - D_2f(0,0)y}{\|(x,y)\|}=0.}
La idea consiste en escribir
f(x,y)-f(0,0) - D_1f(0,0)x - D_2f(0,0)y =
= [f(x,0)-f(0,0) - D_1f(0,0)x] + [f(x,y)-f(x,0) - D_2f(0,0)y].
Como D_1f(0,0) existe, dado \varepsilon >0 existe \delta_1 >0 tal que si 0 < |x| < \delta_1 entonces
\displaystyle{\left | \frac{f(x,0)-f(0,0)}{x} - D_1f(0,0)\right | < \frac{\varepsilon}{2},}
es decir,
\displaystyle{|f(x,0)-f(0,0) - D_1f(0,0)x| < \frac{\varepsilon}{2}\cdot |x|.}
Por otra parte, aplicando el teorema del valor medio de Lagrange, podemos escribir
f(x,y)-f(x,0)= D_2f(x,y^\prime)y
para algún y^\prime entre 0 e y, de modo que
|f(x,y)-f(x,0)-D_2f(0,0)y|= |D_2f(x,y^\prime)-D_2f(0,0)| \cdot |y|.
Como D_2f es continua en (0,0), dado \varepsilon >0 existe \delta_2 >0 tal que si 0 < \|(x,y)\| < \delta_2entonces
\displaystyle{|D_2f(x,y)-D(0,0)| <\frac{\varepsilon}{2}.}
Finalmente, sea \delta = \min \{\delta_1,\delta_2\}. Si \|(x,y)\| < \delta entonces
f(x,y)-f(0,0) - D_1f(0,0)x - D_2f(0,0)y \leq
\leq |f(x,0)-f(0,0) - D_1f(0,0)x| + |f(x,y)-f(x,0) - D_2f(0,0)y| <
\displaystyle{< \frac{\epsilon}{2} \cdot |x| + \frac{\epsilon}{2} \cdot |y| \leq \varepsilon \cdot \|(x,y)\|.}
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