miércoles, 15 de mayo de 2013

Otra demostración (más) del teorema de Pitágoras, mediante cálculo infinitesimal

En primer lugar vamos a demostrar las conocidas expresiones de las derivadas del seno y del coseno.
 Para ello nos ayudaremos de la figura siguiente:

Nombre: Pitagoras.png Vistas: 232 Tamaño: 9,2 KB 

Como vemos, los triángulos OCE y ACB son semejantes, con razón de semejanza que podemos 
encontrar con las hipotenusas


\dst\frac{AC}{OC}=\frac{R\dd\theta}{R}=\dd\theta

De la proporcionalidad entre los catetos opuestos al ángulo \theta tenemos el diferencial del coseno

\dst\dd\theta=\frac{BC}{CE}=\frac{\dd(-R\cos\theta)}{R\sin\theta}=\frac{\dd\cos\theta}{-\sin\theta}

y con la de los catetos contiguos encontramos la diferencial del seno

\dst\dd\theta=\frac{AB}{OD}=\frac{\dd(R\sin\theta)}{R\cos\theta}=\frac{\dd\sin\theta}{\cos\theta}

Una vez que tenemos las derivadas de las funciones trigonométricas simplemente recurriremos a los desarrollos en serie de McLaurin (es decir, de Taylor en torno a \theta=0) de las funciones

f(\theta)=\sin^2 \theta
g(\theta)=\cos^2 \theta

Como

f'(\theta)=2\sin \theta\cos \theta

g'(\theta)=-2\sin \theta\cos \theta=-f'(\theta)

tenemos que todas las derivadas de g(\theta) son las opuestas de las de f(\theta)

g^{(n)}(\theta)=-f^{(n)}(\theta)

Para llegar al final sólo nos basta con observar, por la propia definición de las funciones seno y coseno, que 

f(0)=0 y g(0)=1

Como el desarrollo en serie de McLaurin del cuadrado del seno es


\dst\sin^2 \theta=\sum_{n=1}^\infty \frac{f^{(n)}(0)}{n!} \theta^n

y el del cuadrado del coseno es

\dst\cos^2 \theta=1+\sum_{n=1}^\infty \frac{g^{(n)}(0)}{n!} \theta^n=1-\sum_{n=1}^\infty \frac{f...

resulta que

\sin^2 \theta+\cos^2 \theta=1

Multiplicando ambos lados por el cuadrado del radio de la figura anterior, y teniendo en cuenta que éste es la hipotenusa del triángulo OCE, (11) nos conduce finalmente al teorema de Pitágoras:

\rm CE^2+OE^2=OC^2

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