alquimiayciencias: Prohibido conmutar... Cuentos Cuánticos.

Uno de los hechos más característicos de la mecánica cuántica es la imposibilidad de determinar simultáneamente con toda precisión algunos pares de observables.

Esta es la base del principio de indeterminación de Heisenberg.

Seguramente que cada uno de nosotros ha leído y/o estudiado eso de que no se puede conocer a la vez la posición y el momento (producto de masa por velocidad) de una partícula cuántica.

¿Qué pasaría si esto ocurriera con las coordenadas de un espacio?

¿Qué pasaría si por ejemplo en el plano no pudieramos determinar simultáneamente la coordenada x y la coordenada y con total precisión?

Si esto ocurriese nos enfrentaríamos a tener geometrías no conmutativas. Este tipo de geometrías han sido desarrolladas por los matemáticos y han sido empleadas en teorías físicas.

El ejemplo que podríamos poner es la teoría de cuerdas, sin embargo, en esta entrada veremos que hay situaciones físicas mucho más cotidianas donde esta idea se manifiesta de manera natural. Así que aprovecharemos las siguientes entradas para hablar un poco de geometría no conmutativa, esencialmente de su idea principal y presentaremos un ejemplo nada exótico donde se pone de manifiesto (en la siguiente entrada). Espero que les interese.

Hoy nos toca hablar de indeterminación y de no conmutatividad.

Principio de Indeterminación

Para empezar veamos la famosa expresión del sacrosanto principio de indeterminación de Heisenberg para la posición y el momento.

Lo que significa esta expresión es lo siguiente:

Cuando determinamos la posición de una partícula cuántica, extrayéndola del estado cuántico de la misma, generalmente no nos da un valor exacto sino que viene acompañada con una indeterminación asociada. Esta indeterminación, un intervalo en el que puede estar la partícula, está representada por $\Delta x$ .
Si en vez de la posición intentamos determinar el momento de la partícula nos encontramos en una situación análoga. La indeterminación en el momento viene representada por $\Delta p$ .
El principio de indeterminación nos dice que el producto de ambas indeterminaciones tiene que ser mayor o igual que una determinada cantidad, en este caso $\hbar/2$ .

Si uno mejora la indeterminación en la posición aumenta la misma para el momento y viceversa de forma que el producto siempre es igual o mayor a $\hbar/2$ . Recordemos que la constante $\hbar$ es la constate de Planck dividida por $2\pi$ , es la llamada constante reducida de Planck.

Una visión geométrica

Supongamos que estamos estudiando una partícula que se mueve en una dimensión, una línea recta por ejemplo. Para determinar la forma en la que la partícula se mueve, en física clásica, determinamos sus posiciones y sus momentos de forma exacta y simultáneamente.

Si uno construye un espacio donde en un eje dispone las posiciones y en el otro eje dispone el momento de la partícula que estamos moviendo, en la mecánica clásica está perfectamente permitido determinar un punto en este espacio:

Para una partícula moviéndose en una dimensión podemos construir un espacio de dos dimensiones, donde un eje es para las posiciones y el otro eje es para los momentos. A este espacio se le denomina espacio de fases.

Según la física clásica podemos determinar simultáneamente posiciones y momentos así que en el espacio de fases podemos identificar puntos.

La mecánica cuántica, a causa del principio de indeterminación, lo que nos dice es que en este espacio uno no puede localizar este punto en un área menor que $\hbar/2$ .

Dicho de otra forma, el área dada por el producto de indeterminaciones en posiciones y momentos, tiene que ser mayor o igual a esa cantidad. Así que, si uno disminuye la indeterminación en la posición, la del momento necesariamente tiene que aumentar.

Por supuesto que uno puede hacer medidas de la posición con indeterminación nula, pero entonces, el principio de indeterminación nos dice que el momento de la partícula está totalmente indeterminado.

Aquí hay una ‘magia’ matemática, cuando tengo el producto de dos factores, acotado por abajo, y quiero llevar uno de esos factores a cero manteniendo el producto acotado, el otro factor necesariamente se hace infinito. El punto está en que matemáticamente el producto $0\times \infty$ puede ser mayor o igual a una constante elegida, es lo maravilloso de los límites.

Esta discusión se puede realizar de manera análoga para el momento.

No eres torpe es que está indeterminado

Hay una idea muy extendida acerca del principio de indeterminación que nos induce a pensar que las indeterminaciones en las magnitudes físicas de la cuántica están asociadas a nuestra torpeza experimental. Es muy cierto que en todos los experimentos cometemos errores que nos proporcionan indeterminación en nuestras medidas. Sin embargo, en este contexto hay que recalcar lo siguiente:

El principio de indeterminación es una característica inherente a los sistemas cuánticos. No es que no podamos determinar experimentalmente de forma simultánea posiciones y momentos por incompetencia o falta de medios técnicos.

Lo que nos dice este principio es que ESTE PAR DE MAGNITUDES NO ESTA DEFINIDO SIMULTÁNEAMENTE. Y no podríamos mejorar esta situación aunque tuviéramos metodologías experimentales perfectas que no introdujeran errores ajenos a esta circunstancia.

El origen de la indeterminación: No conmutes

En matemáticas elementales la propiedad conmutativa parece universal. Luego uno va creciendo y se encuentra con cosas que no conmutan cuando se opera con ellas de determinada manera. Si te has encontrado con las matrices en tus estudios estarás sonriendo ahora mismo.

Se puede definir un objeto llamado conmutador que justamente pone de relieve si un par de magnitudes conmutan o no.

El conmutador se define del siguiente modo:

$\left[A,B\right]=AB-BA$

Evidentemente si el par de magnitudes A, B cumple que: $\left[A,B\right]=0$ se dice que conmutan y si $\left[A,B\right]\neq 0$ se dice que no conmutan.

El principio de indeterminación recibe ese nombre por razones históricas, porque en realidad es un teorema, es decir, se puede probar que es cierto dentro de las hipótesis iniciales de la teoría (confirmadas experimentalmente hasta la fecha.

El teorema nos dice que el producto de la indeterminaciones a la hora de calcular las magnitudes A y B, $\Delta A$ , $\Delta B$ verifica lo siguiente:

$\Delta A \Delta B\geq \dfrac{1}{2}|\langle\left[A,B\right]\rangle|$

Aquí es donde se pone de manifiesto la relación entre indeterminación de observables y su conmutación.

Debería de estar claro que si trabajamos con un par de observables que conmuten esta expresión sería:

$\Delta A\Delta B\geq 0$

Lo que implica que podríamos hacer cero, simultáneamente, ambas indeterminaciones.

Toda la raíz del principio de indeterminación se encuentra en la no conmutatividad de algunas magnitdes físicas.

Posición y momento

En cuántica la relación de conmutación entre x y p viene dada por:

$\left[x,p\right]=i\hbar$

Para una prueba pedestre de este resultado: Cuantización Canónica.

Dado que no conmutan entre sí tendremos:

$\Delta x\Delta p \geq \dfrac{1}{2}|i\hbar|$

El valor absoluto de $|i\hbar|=|i||\hbar|$ .
$\hbar$ es una cantidad positiva así que $|\hbar|=\hbar$ .
El valor absoluto de la unidad imaginaria es $|i|=|\sqrt{-1}|=+\sqrt{|-1|}=\sqrt{1}=1$ .

Por tanto obtenemos el resultado famoso:

$\Delta x\Delta p \geq \dfrac{\hbar}{2}$

La no conmutatividad es más común de lo que podemos imaginar

Todo esto puede parecer un poco abstracto, lo es, pero no es menos cierto que hay operaciones que no conmutan y que las puede ver en cosas que uno puede tener a mano.

¿Qué pasa si imponemos que las coordenadas no conmuten?

Uno puede hacer la pirueta matemática de imponer que sean las propias coordenadas de un espacio las que no conmuten entre si. Es un concepto sutil, su estudio da lugar a lo que se conoce como geometría no conmutativa.

En principio, uno puede imponer que el conmutador entre la coordenada x y la coordenada y de un plano no conmuten:

$\left[x,y\right]=i\theta$

Esto se puede hacer por simple imitación de la no conmutatividad de la mecánica cuántica, donde en este caso $\theta$ es una constante.

Pues bien, en la próxima entrada veremos como este caso de hecho se da en física.

Y no, no vamos a hablar de física especulativa, de teorías de gran unificación, de supercuerdas, es un caso muy simple y fácil de conseguir donde las partículas de interés, que constituyen el sistema, viven de forma efectiva en un plano no conmutativo.

Ya hemos comentado el principio de indeterminación y su relación con la característica de que los observables físicos, expresados en términos matemáticos, no conmutan.

Luego dijimos que uno podría imponer que fueran las propias coordenadas del espacio las que no conmutasen entre si. En esta ocasión ahondaremos sobre el tema. En un primer momento hablaremos de qué características tendría un espacio en el que asumamos que sus coordenadas no conmutan y, para finalizar, daremos un ejemplo muy simple donde estas ideas se presentan de forma natural.

Voy a intentar escribir esta entrada en dos niveles, la discusión general presentando ideas y resultados y alguna demostración matemática algo más formal que será indicada con el color azul y que espero se pueda saltar si no te interesa mucho el formalismo.

Un espacio donde las coordenadas no conmutan

Supongamos que estamos en un plano, para simplificar, e imponemos que sus coordenadas (x,y) no conmutan entre si. Es decir, al imponemos que su conmutador no sea nulo:

$\left[x,y\right]=i\theta$

Este hecho tiene diversas impliaciones:

Dado que las coordenadas no conmutan verificaran un principio de indeterminación.
Esto significa que no podemos especificar la posición de una partícula en dicho espacio más allá de decir que está contenida en una región de area dada esencialmente por $\theta$ .
En este tipo de espacios el concepto de punto deja de tener sentido, para fijar un punto hay que dar las dos coordenadas (x,y). Como esto no es posible el espacio se convierte en algo ‘borroso’.

¿Y esto que tiene que ver con la física de andar por casa?

Ciertamente, hay muchas paranoias matemáticas la mar de interesantes. Uno es libre de hacer lo que quiera en un espacio, imponer o no imponer que sus coordenadas conmuten es una elección.

Uno puede probar qué pasaría si las coordenadas no conmutan y ver que geometría y que matemática salen de ahí.

Pero nos interesa la física y nos gustaría tener un ejemplo donde esto fuera lo que pasa.

Ejemplos del uso de la geometría no conmutativa en física hay muchos, todo lo exóticos que queramos. ¿Pero hay algún sitio simple donde esto se pueda ‘ver’?

Y la respuesta, asombrosamente, es sí.

El ejemplo

Supongamos que tenemos una placa metálica a la que le aplicamos un campo magnético B uniforme perpendicularmente a la misma.

¿Cómo sería el movimiento de los electrones?

Esta es la base del conocido como problema de Landau que ha deparado muchas sopresas a pesar de ser un problema (de cuantización) de un sistema muy simple. Entonces lo que pasa es lo siguiente (daré algunas anotaciones técnicas para el que quiera ver la expresiones, en las referencias encontraréis más detalles):

Los electrones en el metal sometido a un campo magnético perpendicular y uniforme comienzan a describir un movimiento circular.

Supongamos que aplicamos un campo magnético de magnitud B en el eje Z a lo largo de toda la placa metálica: $\vec{B}=(0,0,B)$ .
Este campo magnético puede ser derivado del potencial vector $\vec{A}=(-yB,0,0)$ .
Esto puede cambiar al elegir un gauge distinto.
Podemos escribir el Hamiltoniano de cada electrón acoplado a este campo magnético del siguiente modo:

$H=\dfrac{1}{2m}(p_x+yB)^2+\dfrac{1}{2m}p_y^2+V$

Donde m es la masa de los electrones y V un posible potencial eléctrico o producto de las impurezas de la placa metálica.

Como sabemos que los electrones describirán movimientos circulares, podemos construir los objetos matemáticos que describen el centro de cada círculo y su velocidad:

$v_x=\dfrac{1}{m}(p_x+By)$

$v_y=\dfrac{1}{m}p_y$

$X=x+\dfrac{1}{B}p_y$

$Y=-\dfrac{1}{B}p_x$

Si ahora calculamos el conmutador entre X e Y obtendremos (sin más que aplicar las conmutaciones entre posiciones y momentos):

$\left[X,Y\right]=-\dfrac{i}{B}$

Esto es asombroso, no podemos localizar el centro de rotación del electrón en consideración.

El espacio que este electrón “ve” es no conmutativo. Podríamos decir que a todos los efectos el electrón ocupa un área $\Delta X \Delta Y \approx \dfrac{1}{B}$ .

No podemos sondear este espacio por debajo de este área.

Este hecho es importante ya que la presencia de esta no conmutatividad en el espacio en el que se define la dinámica del sistema introduce mucha de sus características.

Esto está en la base del efecto Hall cuántico y de las sorpresas que depara, tema que trataremos más adelante.

Conclusión

Es fascinante, por lo menos para mí, como las ideas matemáticas más ‘descabelladas’ y ‘abstractas’ se realizan en sistemas muy simples en física. El estudio de la geometría no conmutativa ha sido desarrollado enormemente por la interrelación entre matemáticas y física.

En teorías como las supercuerdas, loop quantum gravity, modelos matriciales, etc, el espacio en el que definimos la física adquiere características no-conmutativas.

Un argumento heurístico nos dice que dado que no es posible, según la cuántica, sondear el espacio por debajo de la longitud de Planck, el espaciotiempo a esas escalas sería no-conmutativo. De hecho, hay argumentos que nos dicen que esta no-conmutatividad podría librar a la teoría cuántica de campos de los infinitos que la plagan que en muchas ocasiones están asociados a que en dicha teoría se permiten longitudes tan pequeñas como queramos (o momentos tan grandes como queramos).

En otra ocasión trataremos de los diferentes argumentos en las diferentes teorías que nos llevan a hablar de un espaciotiempo no conmutativo.

Lo que sí que tiene que quedar claro es que la naturaleza y la matemática son asombrosas.

Nos seguimos leyendo…

alquimiayciencias

sábado, 11 de mayo de 2013

Prohibido conmutar... Cuentos Cuánticos.