La notación bra-ket de Dirac

La notación bra-ket de Dirac unifica en una misma símbología la descripción de los operadores y las cantidades observables que podemos llevar a cabo en la Mecánica Matricial (con matrices actuando como operadores) y la descripción que podemos llevar a cabo en la Mecánica Ondulatoria (con operadores diferenciales actuando como operadores).

Considérese la siguiente representación del vector x = (x¹, x², x³) que podemos llevar a cabo utilizando vectores unitarios de base (los super-índices no son exponentes):

x = x¹(1, 0, 0) + x²(0, 1, 0) + (0, 0, x³)

Ahora supóngase que llevamos a cabo la misma representación usando vectores columna en lugar de vectores renglón, identificando tras esto a cada vector columna de una manera que al principio parecerá algo peculiar:

La representación que tenemos destacada de color amarillo formada por una línea vertical a la izquierda y un paréntesis angulado a la derecha es esencialmente lo que llamamos un ket.

Retendremos la convención según la cual dada una cantidad compleja z cualesquiera:

z = x + iy

el conjugado complejo de dicha cantidad se representa con un asterisco puesto como super-índice:

z^* = x - iy

La notación bra-ket de Dirac se basa en dos símbolos fundamentales, siendo uno de ellos elbra:

y siendo el otro el ket:

El uso más sencillo de ambos símbolos consiste en unirlos para representar con ello el producto interno de dos vectores o dos funciones. Cuando esto se hace, el bra siempre se pone a la izquierda, y el ket siempre se pone a la derecha, estando de este modo encerrado todo entre dos paréntesis angulados (las palabras bra y ket derivan de la palabra inglesabracket).

La operación más sencilla que se puede llevar a cabo consiste en la adición de dos kets:

Para que dos kets puedan ser sumados, deben ser del mismo tipo, lo cual implica que no podemos sumar las funciones de onda propias de la Mecánica Ondulatoria a los vectores y matrices propios de la Mecánica Matricial, y si vamos a sumar vectores y matrices propios de la Mecánica Matricial éstos tienen que ser del mismo tipo. A modo de ejemplo, si partimos de las siguientes dos funciones de onda:

entonces tras representar estas funciones de onda como kets:

podemos representar la adición de dichos kets en la notación de Dirac de la manera siguiente:

PROBLEMA: Sumar todos los kets que sea posible sumar de los mostrados a continuación:

Puesto que para poder sumar dos kets estos tienen que ser del mismo tipo, las únicas sumas de kets que pueden ser llevadas a cabo aquí son las siguientes:

Cada ket puede ser multiplicado por una constante numérica cuyo cuadrado dá la probabilidad de ocurrencia del estado representado por el ket, de modo tal que podemos hacer combinaciones como la siguiente:

en la cual la probabilidad de que en un experimento se dé el estado simbolizado por el primer ket es |a|² y la probabilidad de que se dé el estado simbolizado por el segundo ket es |b|² . Por lo general, cuando se suman dos o más kets lo que tenemos es una superposición de estados que dá lugar a una nueva situación, como lo muestra la siguiente figura en la cual tenemos una suma de dos los únicos dos estados posibles:

Habiendo únicamente dos estados posibles en el ejemplo que se acaba de dar, la relación de abajo nos indica que la suma de las probabilidades de obtener cualquiera de los dos estados debe ser igual a la unidad, a la certeza.

Tanto en el Analisis Vectorial como en el Algebra Lineal estamos familiarizados con el concepto del producto escalar o producto interno de dos vectores a y b definido en su quintaesencia en un espacio tridimensional Euclideano como el producto de las magnitudes de dichos vectores multiplicado por el coseno del ángulo que forman dichos vectores.

a · b = |a| |b| cos(θ)

Bajo un sistema de coordendas rectangulares Cartesianas en donde cada uno de los vectoresa y b esté especificado por las tres componentes que son iguales a sus proyecciones sobre cada uno de los ejes coordenados:

a = (a₁ , a₂ , a₃)

b = (b₁ , b₂ , b₃)

en donde las componentes vectoriales son números reales, no resulta difícil el comprobar que el producto interno de los vectores a y b en función de sus componentes sobre los ejes coordenados está dado por la siguiente relación:

a · b = a₁b₁ + a₂b₂ + a₃b₃

Si queremos definir un concepto similar dentro de la Mecánica Cuántica, el problema que se nos presenta de inmediato es que las componentes de los vectores no sólo pueden ser números reales, también pueden ser números complejos o imaginarios. Necesitamos antes que nada redefinir de alguna manera, desde el punto de vista estrictamente matemático sin entrar todavía a ningún detalle, el concepto de producto interno de dos cantidades cuando una de ellas o ambas pueden ser números complejos. Se ha comprobado en la práctica que una de las formas más convenientes de hacerlo es de la manera siguiente:

en donde el asterisco para los componentes del vector a (destacados de color rojo) indica que se debe tomar el conjugado complejo del elemento (invirtiendo el signo del factor imaginario i en donde lo haya). Obsérvese que aquí se ha dado un paso importante, se ha supuesto que la definición será válida para vectores con una dimensión mayor que tres, lo cual aunque no tenga mucho sentida desde el punto de vista físico sí puede ser adoptado desde el punto de vista matemático sin problema alguno. Obsérvese también que el orden en el cual se especifica el producto de los vectores a y b es importante, ya que si se sigue un orden inverso entonces de acuerdo a la definición que se acaba de dar el producto interno será:

Resalta el hecho de que, bajo esta definición, el producto interno de dos vectores no es conmutativo. Sin embargo, observando el hecho de que si tomamos el conjugado complejo en ambos miembros de la igualdad anterior (usando el hecho de que el conjugado de la suma de números complejos es igual a la suma de sus conjugados complejos, y el hecho de que el conjugado complejo de un producto es igual al producto de los conjugados):

Esto significa que:

En la Mecánica Matricial, representamos el producto interno de dos vectores x_i y x_j con la notación bra-ket simbolizado de la siguiente manera con un bra puesto a la izquierda unido a un ket puesto a la derecha juntando ambos bra y ket de la siguiente manera:

Obsérvese que al llevarse a cabo la unión de un bra con un ket la doble línea vertical que se forma con la línea vertical venida del bra y la línea vertical venida del ket se “funden” en una sola línea vertical (“|”). Esto es algo que siempre se hace cuando surgen dobles líneas verticales en operaciones llevadas a cabo con bras y kets. Siendo el producto interno de dos vectores un número, lo que tenemos arriba es esencialmente un número.

Tomando como base la conclusión que se había obtenido para dos vectores con componentes complejos:

procediendo por analogía podemos asentar como relación fundamental para la definición del producto interno entre un bra y un ket lo siguiente:

El caso más frecuente en la Mecánica Cuántica es que los componentes que son usados a modo de vectores que sean ortogonales (independientes el uno del otro) estando cada uno de ellos normalizado (con su longitud igual a la unidad), o sea, vectores ortonormales. En este caso, podemos destacar el uso de vectores normalizados con algún otro tipo de notación, por ejemplo u_i y u_j, juntando ambos bra y ket de igual manera:

En este caso, cuando los vectores u_i y u_j son vectores ortogonales y normalizados, esto es, ortonormales, entonces el producto interno de los mismos debe ser el siguiente:

En esta definición utilizamos el delta de Kronecker para el cual δ_ij.=.1 cuando i.=.j y δ_ij.=.0 cuando i.≠.j. El bra asignado al vector u_i le dá una representación matricial como un vector renglón, mientras que el ket asignado al vector u_j le dá una representación matricial como un vector columna. Si se trata del mismo vector, con i.=.j, entonces la longitud del vector es 1 puesto que el vector se supone que está normalizado, y si se trata de dos vectores diferentes tomados de la misma base entonces con i.≠.j el producto interno es igual a cero reflejando el hecho de que los dos vectores son ortogonales.

A todo ket le podemos asignar un bra que es su dual correspondiente. Dado un ket, podemos obtener su bra dual tomando el conjugado complejo del ket, lo cual significa cambiarle el signo a todas las instancias en donde aparezca el número imaginario i.

PROBLEMA: Dado el siguiente ket:

obténgase un bra que sea su dual de modo tal que al tomar el producto interno de ambos el resultado sea igual a la unidad.

Puesto que la longitud del ket proporcionado no es igual a la unidad, multiplicaremos dicho ket por una constante de normalización A:

El bra que corresponde a este ket lo obtenemos tomando el conjugado complejo del ket:

Para que el producto de este bra con su ket que es su dual sea igual a la unidad, la condición de normalización requiere que:

Con esta condición podemos obtener la constante de normalización A:

De este modo, tanto el bra como el ket normalizados que forman un par dual son los siguientes:

En forma similar a como lo hacemos con los vectores de la Mecánica Matricial, en laMecánica Ondulatoria representamos el producto interno de dos funciones del mismo tipo pero con un número cuántico diferente de una manera como la siguiente:

En general, dadas dos funciones ψ y φ, la notación bra-ket:

representa algo como:

Aunque tengamos dos funciones diferentes ψ(x) y φ(x), estas deben estar definidas sobre el mismo espacio vectorial (de la misma dimensión), y para llevarse a cabo el producto interno de las mismas tomamos el conjugado complejo de la función que aparece en el bra, en este caso ψ*(x), para que el resultado final sea un número real, ya que si el resultado final fuese un número imaginario o complejo la base matemática no nos sirve para representar cantidades físicas en la Mecánica Cuántica.

PROBLEMA: Demostrar que: 

La demostración pedida se puede llevar a cabo de la siguiente manera:

En general, podemos sacar constantes fuera de un producto bra-ket, siempre y cuando se tenga cuidado de observar en qué parte del producto bra-ket se encuentra la constante que será sacada fuera, ya sea en el bra o en el ket. Si una constante K se encuentra en el bra, entonces al ser sacada fuera debe salir como el conjugado complejo de K, esto es, como K*; y si la constante se encuentra en el ket, entonces al ser sacada fuera deberá salir tal cual, esto es, como K, sin que se le tome su conjugado complejo al sacarla fuera.

En términos de algo que los matemáticos puros reconocen como un espacio funcional (el cual es tema de estudio del Análisis Funcional que a su vez trata acerca de las funciones de funciones), podemos concebir al bra como una instrucción para llevar a cabo la siguiente operación:

sobre algo que se le ponga al bra del lado derecho, en donde el “hueco” simbolizado comoAA representa el espacio vacío a espera de ser llenado por la función que el bra encuente a su lado derecho, por ejemplo el ket que representa a la función m:

PROBLEMA: Demostrar, usando la notación bra-ket para ello, que el siguiente conjunto de funciones:

es un conjunto ortonormal. ¿Cuál será la dimensión del espacio vectorial en este problema?

Evaluaremos primero el producto interno de la función ψ₀ consigo misma:

Puesto que el producto interno de la función ψ₀ consigo misma es igual a la unidad, podemos ver que la función está normalizada.

Ahora evaluaremos el producto interno de la función ψ₁ consigo misma:

Puesto que el producto interno de la función ψ₁ consigo misma también es igual a la unidad, podemos ver que la función también está normalizada.

En general, para cualquiera de las funciones ψ_n del conjunto, tenemos:

Resulta claro que todas las funciones están normalizadas.

Falta ver si las funciones son ortogonales entre sí, para lo cual tenemos que evaluar el siguiente producto interno:

siendo m ≠ n. Recurriendo a la fórmula de Euler:

tenemos entonces dos integrales a evaluar:

Llevando a cabo ambas integraciones:

El segundo término (destacado en color rojo), siendo una función par, al ser evaluado entre los límites -1 y +1 se vuelve cero, dejándonos únicamente con el primer término, que tras la toma de límites se vuelve:

Por hipótesis, estamos considerando que m y n son dos enteros diferentes. En tal caso, el argumento de la función senoidal será un múltiplo entero de π. Pero el seno de un múltiplo entero de π siempre será igual a cero. Entonces, cuando m y n son diferentes, el producto interno las dos funciones de onda será igual a cero, esto es, serán ortogonales.

Se concluye que el conjunto dado de funciones es ortonormal, esto es, ortogonales entre sí y normalizadas a la unidad, lo cual podemos expresar con la ayuda del delta de Kronecker:

cumpliéndose de este modo la condición para que un conjunto de funciones pueda ser considerado una base ortonormal.

Puesto que tenemos un total de 9 funciones independientes la una de la otra, la dimensión del espacio vectorial en este problema es igual a 9. Si utilizamos un número adicional de funciones similares, puesto que para un sub-índice máximo N tenemos 2N+1 vectores (funciones) de base linealmente independientes la dimensión del espacio vectorial será igual a 2N+1.

Si tenemos una función ψ expandible sobre una representación en series ortogonales como es el caso de las series de Fourier en las que la función periódica que está siendo expandida es igual a la suma de una cantidad infinitamente grande de las amplitudes de una frecuencia fundamental y sus harmónicas, podemos entresacar una de las componentes de la serie (ψ_i) en particular tomando el producto interno de la siguiente manera:

La expansión de una función ψ en una serie infinita de componentes ψ_i separados el uno del otro con los componentes u_i tomados de una base ortonormal se representa de la siguiente manera:

En la notación bra-ket tenemos además operadores. Por regla general, un operador Oactúa sobre un ket que está puesto a su derecha. En la Mecánica Matricial, el operador por lo general es una matriz que actúa sobre un vector u:

mientras que en la Mecánica Ondulatoria el operador puede ser un operador diferencial actuando sobre una función de onda ψ:

Un operador, después de haber actuado sobre un ket, generalmente resulta en otro ket, el cual puede ser utilizado para formar posteriormente un producto con un bra:

En la Mecánica Ondulatoria hemos visto ya que una cantidad observable tal como la energía que pueda ser representada como un operador actúa sobre una función de onda en unaeigen-ecuación que nos regresa (del lado derecho de la eigen-ecuación) la función de onda multiplicada por una cantidad λ que es a su vez el eigenvalor que se medirá en el laboratorio relacionado con dicha observable:

siendo ψ la eigenfunción de onda asociada con el eigenvalor. Con la notación bra-ket, la representación de algo como lo anterior se lleva a cabo utilizando kets sobre los cuales actúa el operador que los antecede:

escribiéndose entonces una eigen-ecuación del modo siguiente:

En un sistema con estados ligados, habrá ciertos kets de importancia especial, loseigenkets propios del sistema, que podemos denotar como:

con la propiedad de que:

en donde a, b, c, ... son simples números (las cantidades observables a ser medidas con algún aparato). El conjunto de números:

es el conjunto de eigenvalores del operador.

Habiendo visto que existe una dualidad importante entre los bras y los kets, esto nos sugiere que un operador no sólo debe ser capaz de actuar sobre kets, también debe ser capaz de actuar sobre bras, lo cual resulta ser cierto aquí, excepto que para que un operador pueda actuar sobre un bra tiene que hacerlo sobre el bra que está situado inmediatamente a su izquierda.

Un operador X actúa siempre sobre el ket que está situado a su derecha, y el producto resultante viene siendo otro ket:

Un operador X actúa siempre sobre el bra que está situado a su izquierda, y el producto resultante viene siendo otro bra:

Adaptarse a esta nueva realidad requiere algo de práctica, del mismo modo que una persona que toda su vida ha estado acostumbrada a escribir con su mano derecha no necesariamente empezará a escribir de inmediato con su mano izquierda con la misma facilidad. La eigen-ecuación en la cual se utiliza un bra en lugar de un ket es la siguiente:

Este detalle nos permite llevar a cabo de una manera sencilla algunas demostraciones que de otra manera nos confundirían fácilmente al obscurecerse los detalles con la notación.

Si el operador O es una matriz, y si lo que queremos hacer es entresacar cierto componente de la matriz, lo hacemos tomando el triple producto matricial que se muestra a continuación:

En esta representación, se utiliza el bra para simbolizar un vector renglón u_i, y el ket para simbolizar un vector columna u_j. El producto matricial de O con u_j nos entresaca una columna completa de la matriz O, la columna j, mientras que el producto posterior de u_icon O nos entresaca el elemento situado en el renglón i del vector columna obtenido de la operación previa, dándonos de este modo el elemento O_ij de la matriz O.