miércoles, 11 de septiembre de 2013

Lagrange y la raíz de 2


Es imposible encontrar un número entero que multiplicado por sí mismo dé 2.

 Tampoco se puede encontrar una fracción así, pues si simplificas la fracción hasta ser irreducible, el cuadrado de esta fracción será de nuevo irreducible y por lo tanto no puede ser igual al número entero 2. 

Joseph Louis Lagrange

Por si alguien aún no se ha enterado, se trata de una muy curiosa demostración de la irracionalidad de [;\sqrt2;] (y, por extensión, de la de la raíz de cualquier número natural que no sea un cuadrado perfecto).

Supongamos que [;n;] no es un cuadrado perfecto y que [;\sqrt n;] es racional, es decir, [;\sqrt n={p}/{q};] con [;p,q\in\mathbb{N};] y primos entre sí (para que la fracción sea irreducible). 

Lo que afirma Lagrange es que si [;p/q;] es irreducible (con [;q\ne1;]), entonces [;p^2/q^2;] también lo es. En efecto, si tenemos en cuenta la descomposición en factores primos de [;p;] y [;q;], como [;p/q;] es irreducible, entonces no hay 

factores comunes en [;p;] y [;q;]; al elevar al cuadrado, lo que hacemos 

es duplicarlos exponentes de los factores ya existentes, pero jamás introduciremos factores nuevos, por lo tanto, [;p^2;] y [;q^2;]tampoco compartirán factores y resultarán primos entre sí.

Y claro, si [;p^2/q^2;] es irreducible, por mucho que queramos nunca podrá ser un número entero (recordad que [;q\ne1;], luego, en particular, [;p`^2/q^2\ne n;] 


lo que lleva a contradicción.

Durante esta semana, si puedo, propondré alguna que otra demostración más de la irracionalidad de [;\sqrt2;].
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