alquimiayciencias: El área de la esponja de Menger

Primera iteración de la esponja de Menger, con cuadrados de Polifieltros 3D.

La esponja de Menger es conocida por ser un fractal sin volumen y con área infinita.

Su dimensión fractal es $\frac{log(20}{log(3)}$ .

La n-ésima iteración está formada por $20^n$ cubos de lado $3^{-n}$ luego su volumen es $20^n 3^{-3n}=(20/27)^{n}$ que tiende a 0 cuando n tiende a infinito.
Por eso decimos que no tiene volumen ( o que su volumen es 0).
Pero sin embargo, como fractal tiene dimensión entre 2 y 3. Si partimos un cubo en cubitos de lado $1/k$ , obtendremos exactamente $k^3$ cubitos.
Ese exponente 3 es la dimensión del cubo.
Esto permite generalizar el concepto de “dimensión” a otros objetos formados por cubitos.
Por ejemplo, para la n-ésima iteración de la Esponja de Menger necesita $20^n = k^d$ cubitos de lado $1/k$ donde $k=3^{-n}$ .
Tomando logaritmos obtenemos el valor de $d=\frac{log(20}{log(3)} \sim 2,7268$ .
A continuación probaremos que el número de cuadrados de la (superficie de la) n-esima iteración es $2^{2n+1}(2^{n+1}+5^n)$
luego el área será $2^{2n+1}(2^{n+1}+5^n)3^{-2n}$ que en el límite da infinito.

Mientras montábamos la primera iteración con cuadrados de Polifieltros 3D nos surgió la idea de cómo calcular fácilmente el número de cuadrados necesarios para la 2ª iteración.

Desafortunadamente, vimos que eran 1056 y que no teníamos tantos en ese momento, así que tendremos que esperar a coserguirlos primero …

Elegimos 6 colores para formar la esponja, un color por cada cara del cubo, de manera que todos los cuadrados que miren a esa cara tengan el mismo color. Contemos ahora los cuadrados de cada color.

Por ejemplo (véase foto arriba), en la primera iteración hemos usado:

8 cuadrados exteriores amarillos en una cara, más otros 4 cuadrados amarillos interiores (que miran a esa misma cara), por 6 colores, 72 cuadrados en total.

En la segunda iteración, tendremos 8^2 cuadrados exteriores en una cara.

El número de cuadrados interiores será la suma de 8*4 correspondientes a las caras externas de las 4 copias de la primera iteración que están a la vista, más otros 20*4 cuadrados interiores correspondientes a los cuadrados interiores de las 20 copias de la primera iteración.

Así, tendremos 8*4+20*4=112 cuadrados interiores, y en total necesitaremos (8^2+112)6= 1056 cuadrados.

En general, el número de cuadrados interiores se define iteradamente como:

$I_0=0; I_n=(8^{n-1}\cdot 4+20\cdot I_{n-1})$