Topológico (32960)

Hoy quiero hablar sobre topología. Desde que escuché hablar de esta rama de las mates siempre me ha parecido la más atractiva de todas.

 Está claro que la compartimentación de la matemática es un poco irreal, al final todo está conectado con todo, pero las definiciones, procedimientos y conclusiones de la topología me parecen muy bonitas y abren un mundo de posibilidades.

Y sí, sé lo que están pensando, cuando digo o escribo “topológico”, pienso en algo así:

Un topo lógico. ¡CHISTACO!

Hay que decir que la topología es una rama muy abstracta, tan abstracta que podemos tocarla con las manos, como vamos a ver.

¿De qué vamos a hablar en esta entrada?

Vamos a organizarnos, lo que pretendo en esta entrada son tres cosas:

1.-  Hablar de qué es un espacio topológico.

2.-  Hablar de qué es un espacio conexo.

3.-  Hablar de qué es un espacio separable.

La definición de espacio topológico

Vamos a empezar por lo más simple:

Sea A un conjunto formado por los elementos {a,b,c}

Aquí tenemos un conjunto con tres elementos, que podemos representar por:

Dado un conjunto podemos construir todos los subconjuntos del mismo.

 En nuestro ejemplo, los subconjuntos de A son:

1. El conjunto vacío 
2. Subconjunto formados por solo un elemento de A: {a}, {b},{c}
3. Subconjuntos formados por dos elementos de A: {a,b}, {a,c}, {b,c}
4. Subconjuntos formados por tres elementos de A: {a,b,c}. 
5.  Este es el propio A.

¿Qué es una topología?

Una topología, T, es una elección de subconjuntos de un conjunto de forma que las uniones o intersecciones de dichos subconjuntos estén en la colección que llamamos T.

Ya, ya… ¿esto qué es lo que es?

Juguemos un poco a definir distintas colecciones de subconjuntos del conjunto A de nuestro ejemplo.

Colecciones:

a) {{}, {a}}  Esta es la colección que contiene al subconjunto vacío y al subconjunto formado únicamente por el elemento a.

b) {{},{a,b,c}}  Esta es la colección que contiene al subconjunto vacío y al subconjunto formado por los tres elementos de A, es decir, por el propio A.

c) {{a},{b},{c}}  Esta es la colección que contiene a los tres subconjuntos de un único elemento de A.

d) {{},{a},{b},{c}}  Esta es la colección que contiene a los tres subconjuntos de un único elemento de A y al subconjunto vacío.

e)  {{},{a},{b},{c}, {a,b,c}}  Esta es la colección que contiene a los tres subconjuntos de un único elemento de A, al subconjunto vacío y al propio A (los tres elementos).

f) {{},{b}, {a,b},{b,c},{a,b,c}} Esta es la colección que contiene a dos subconjuntos de dos elementos de A, {a,b} y {b,c}, un subconjunto de un elemento, {b}, el subconjuto que es el propio A.

El tema es decidir cuales de estas colecciones son una topología T.  Ni que decir tiene que podremos definir diferentes topologías, diferentes colecciones de subconjuntos de A que cumplan con las condiciones.

Entonces, aquí se hace necesaria una definición que nos diga a qué podemos llamar topología y a qué no.

Definición:

Una colección T de subconjuntos de un conjunto A se dirá que es una topología si:

a)  El subconjunto vacío y el propio conjunto A son miembros de la colección T.

b)  La unión (arbitraria, esto es un detalle técnico) de los elementos de la colección, T, tiene que resultar siendo un elemento de la colección T.

Recordemos que la unión de dos conjuntos, A y B, forma un nuevo conjunto, C, compuesto por todos los elementos de A y de B (sin repetir).

c)  La intersección (finita, otro detalle técnico) de los elementos de la colección, T,  tiene que resultar siendo un elementos de la colección T.

Si nos vamos a nuestro ejemplo:

Los casos a), c), d) no pueden ser topologías porque no incluyen el conjunto vacío y el conjunto total A={a,b,c} a la vez.

Los casos b), e) y f) son topologías para el conjunto A. Cumplen todas las condiciones de la definición (¿Podemos comprobarlo? No lo hago aquí explícitamente para no privaros del placer de intentarlo, ¡son dibujitos!).

 Las uniones e intersecciones de los elementos de las colecciones vuelve a ser otro elemento de la colección y además, tanto el subconjunto vacío como el total forman parte de la misma.

Una cosa importante es que dado un conjunto A podemos definir distintas topologías. Así, dado un conjunto y una colección de sus subconjuntos, T, que verifica la definición de topología, diremos que tenemos un espacio topológico. 

Los elementos pertenecientes a una topología T, es decir los subconjuntos del conjunto de trabajo, se denominan abiertos. Y en este punto, es solo un nombre, un abierto es un elemento de una topología, sin más.

¿Para qué se usa la topología?

La topología, partiendo de la definición anterior, se muestra como una hermosa y provechosa rama de la matemática.  Dentro de la misma es donde se formalizan conceptos como el de continuidad, límite, etc.

La topología se encarga de estudiar las propiedades de un espacio (conjunto) que permanecen invariantes al transformarlos de forma continua.

Así, desde el punto de vista topológico:

Desde el punto de vista topológico estas figuras son iguales. Se pueden pasar de una a otra por transformaciones continuas.

Todas esas figuras son topológicamente equivalentes. Las deformaciones, siempre que sean continuas y no produzcan “cortes” y “separaciones” nos llevan de un espacio (figura) a otro que es equivalente en lo tocante a su topología.

Hay características que no podemos cambiar en un espacio (figura) por transformaciones continuas. El ejemplo arquetípico es el de tener un agujero. Por eso estas figuras que muestro a continuación también son equivalentes:

Cualquier especialista en topología es incapaz de distinguir entre un donut y una taza de café.

Es hora de pasar a describir algunas características topológicas de los espacios. Para ello tenemos que hacer un salto conceptual. La definición de topología es válida para conjuntos con un número finito (y numerable) de elementos, como nuestro conjunto

 A del ejemplo, y para espacios continuos, como modelizamos nuestro espacio físico.

Espacios conexos

Un espacio es conexo cuando está dado de una pieza

Definición propia, no confien en ella 

De una forma un poco más elaborada podemos decir que un espacio es conexo cuando podemos ir de un punto a otro del espacio sin salirnos del mismo. Sin embargo, esta no es la definición más general posible, un espacio que verifique esta propiedad se denomina arco-conexo. 

(Todos los espacios arco-conexos son conexos pero no todos los espacios conexos son arco-conexos).

Siendo un poco más rigurosos podemos definir un espacio conexo del siguiente modo:

Diremos que un espacio es conexo cuando no podemos describirlo como la unión de abiertos cuya intersección es vacía (unión de abiertos disjuntos).

Valga por ejemplo el espacio (figura) de la siguiente imagen:

En este espacio, desde cualquiera de sus puntos podemos ir a cualquier otro sin salirnos del mismo.

Este espacio diremos que es conexo.

Supongamos que tenemos un espacio que tiene dos partes sin intersección entre ellas.

El espacio en cuestión es el formado por el anillo rojo y el amarillo. Este es un espacio que está compuesto por dos componentes conexas ya que ambos subespacios son conexos.

Es evidente que dentro del subespacio rojo o amarillo podemos ir de un punto cualquiera a otro del mismo sin salirnos de él. Pero, si queremos ir de un punto del subespacio rojo al amarillo o viceversa nos tendríamos que “salir” del espacio (formado por la unión del rojo y el amarillo).

 Este espacio no es conexo, pero diremos que tiene dos componentes conexas.

Que un espacio sea conexo o no lo sea es algo que se preserva frente a transformaciones continuas y por lo tanto es un elemento invariante de la topología de un espacio.

Mejor separados que juntos

Una cuestión interesante que nos podemos plantear en un espacio (conjunto) continuo es la siguiente:

¿Podemos separar los puntos del espacio en cuestión?

Desde el punto de vista matemático formal esto se podría decir del siguiente modo:

Dados dos puntos de un espacio, ¿es siempre posible englobarlos en regiones que no tengan intersección entre sí?

Desgraciadamente para nuestros propósitos matemáticos el espacio que nos rodea cumple esta propiedad. Por ejemplo toma un folio, pinta dos puntos, x e y, lo cerca que quieras el uno del otro.

 Idealmente siempre podrías englobar cada punto en una región, U y V, que no se cortara con la otra:

A los espacios que cumplen esta propiedad se denominan espacios de Hausdorff.

Pero no todos los espacios cumplen esta propiedad, hay ejemplos de espacios donde no se pueden separar puntos.

 Estos espacios exóticos no son fácilmente representables porque todos los que nosotros podemos representar están asociados con nuestro espacio tridimensional que es Hausdorff y estos últimos heredan dicha propiedad.

 Permitidme poner un ejemplo, (que me ha chivado el profe Alberto Márquez), donde no es posible, con la topología elegida, separar los puntos del espacio/conjunto de trabajo:

Por mucho que nos empeñemos, no podemos tener un abierto que solo contenga a rojo y un abierto que solo contenga a azul. 

Este espacio no es Hausdorff.

Es en los espacios de Hausdorff donde el concepto de límite aparece con mayor naturalidad (se pueden demostrar cosas como unicidad y tal). 

Y es en dichos espacios donde mejor sabemos derivar e integrar (aunque para integrar también hay que exigir otra propiedad topológica que se denomina compacidad y de la que hablaremos en otra ocasión).

¿Qué hace un físico como tú hablando de una topología como esta?

Primero porque soy un enamorado de la matemática y la topología, como ya he dicho, es una de las ramas más atractivas y bellas en mi humilde opinión. Además, actualmente en física las ideas topológicas son esenciales en muchos campos.

 A saber:

• La estructura del propio espaciotiempo. Incluyendo la definición de agujeros negros.
• La existencia de fermiones, que son las partículas como los electrones o los protones, solo es posible si nuestro espaciotiempo tiene determinadas características topológicas. (La existencia de espinores, que son los elementos que representan a los fermiones, solo puede darse en espacios denominados paracompactos).
• Hay propiedades de los materiales que tienen su origen en cuestiones topológicas. Por ejemplo, el efecto Hall cuántico es una manifestación de las propiedades topológicas del espacio efectivo que ven los electrones de un conductor sometidos a un campo magnético perpendicular al mismo.
• Hay todo un campo llamado teorías de campos topológicas que son importantes para entender los fundamentos de la teoría cuántica y de teorías como las supercuerdas.

Sin duda, todos estos son temas interesantísimos a los que alguna vez le dedicaremos el tiempo necesario. Esta entrada es el comienzo de una serie en la que hablaremos sobre la estructura del espaciotiempo que tendrá como objetivo el de entender los teoremas de singularidad de Penrose-Hawking.

Espero que esta entrada haya sido amena y haya sabido mostrar lo interesante de la topología y haber despertado vuestro interés y curiosidad.

Nos seguimos leyendo…