Hay muchas pruebas de la identidad 1=0,
La que vamos a dar ahora usa la misma técnica que el Teorema de Caius Dutus[Bruno Winckler, Recueil de blagues mathématiques et autres curiosités, Ellipses, 2011], en el que se demuestra que 81=–100.
Teorema: 1=0
Demostración:
Sabemos que 1 en números romanos se escribe como I;
vamos a poner ese símbolo en minúscula para que se aprecie mejor lo que se está haciendo, es decir, vamos a sustituir I por i.
Como 12=1, se tiene que 1=12=i2=–1 (el cuadrado de la unidad imaginaria i es –1).
Luego 1=–1, y sumando 1 a ambos miembros de la igualdad se obtiene que 2=0.
Basta con dividir por 2, y se deduce que 1=0. CQD
Nota:
La prueba del Teorema de Caius Dutus es más complicada, ya que utiliza además una propiedad algebraica del producto de números complejos.
Sabemos que X=10 y que IX=9.
Entonces (IX)2=81. Pero (IX)2=(IX)(IX),
y usando la conmutatividad del producto de números complejos, podemos reordenar
y quedaría que (IX)2=I2X2=–100,
ya que el cuadrado de la unidad imaginaria es –1.
Luego 81=–100. CQD
Demostraciones de que 1=0 y similares
Primera demostración.
Esta es seguramente la más clásica. Sea a=b=1. Entonces:
| a | = | b | Multiplicamos por a |
| a² | = | ab | Restamos b² |
| a² - b² | = | ab - b² | Reescribimos como suma por diferencia y sacamos factor común |
| (a - b)(a + b) | = | b(a - b) | Simplificamos (a-b) |
| a + b | = | b | Y como a=b=1 |
| 2 | = | 1 |
¿Encontrarán el fallo?
En esta ocasión el fallo se debe a que hemos dividido entre 0 y 0/0 es una indeterminación por lo que nos puede salir cualquier cosa. ¿Cuándo ha pasado esto? Al simplificar el (a-b). Al hacer eso hemos dividido entre 0 ambos miembros de la igualdad.
Segunda demostración.
Veamos ahora que 4=5 (y restando 4 obtendríamos que 0=1).
| 16-36 | = | 25-45 | Sumamos 81/4 |
| 16-36+81/4 | = | 25-45+81/4 | Si observamos que son cuadrados de una diferencia los podemos poner como |
| (4-9/2)² | = | (5-9/2)² | Quitando cuadrados |
| 4-9/2 | = | 5-9/2 | Sumamos 9/2 |
| 4 | = | 5 |
¿Dónde está el fallo?
El fallo está al quitar los cuadrados ya que al hacer esto en realidad estamos haciendo raíces cuadradas
y sabemos que pueden ser 2, una negativa y otra positiva.
En nuestro caso al quitar cuadrados nos ha quedado en un lado la raíz positiva y en el otro la raíz negativa. Pasaría lo mismo por ejemplo si tuviésemos que
(1)²=(-1)²
y quitásemos cuadrados.
Tercera demostración.
Vamos a ver ahora que 1=-1. Ojo, voy a usar números complejos.
Tenemos que
Aplicando raíces cuadradas
es decir
Por definición de i
Si a/b=c/d se tiene que ad=bc y por lo tanto en nuestro caso tenemos que
¿En qué falla esto ahora?
Fallamos al aplicar que
ya que esto solo es cierto si a y b son números positivos.
¿Por qué falla esto con números negativos?
Pues porque al hacerlo con algún número negativo puede pasar que al separar en dos raíces, una de ellas tuviese que ser la misma pero con signo contrario. En concreto, en nuestro caso, en la expresión
la raíz del denominador tendría que haber sido negativa, es decir, habría sido -i.
Cuarta demostración.
Vamos a demostrar ahora que 1<0 .="" i="" nbsp="">
Para ello tomemos x un número cualquiera entre 0 y 1. Por ejemplo nos valdría x=0,5.
Tenemos entonces que
x<1 i="">
Como x y 1 son positivos, podemos tomar logaritmos.
Ahora bien, logaritmo es una función creciente (si a es menor que b, log(a) es menor que log(b))
y el logaritmo de 1 es 0 tenemos que
log(x)<0 .="" i="">
Si dividimos entre log(x) tendremos finalmente que
1<0 .="" i="">
¿Dónde está el fallo ahora?
En el último paso.
Si dividimos entre un número negativo, la desigualdad se debe invertir y en nuestro caso, log(x) es negativo ya que x<1 .="" i="">
De igual forma, si tenemos la desigualdad
1<2 -1="" al="" de="" debemos="" desigualdad="" dividir="" entonces="" entre="" invertir="" la="" obteniendo="">-2.
Quinta demostración.
Esta demostración es quizá la más tonta de todas, el primer paso es escribir:
0=0+0+0+0+0+0+...
que se puede escribir también como
0=(1-1)+(1-1)+(1-1)+(1-1)+(1-1)+(1-1)+...
que quitando paréntesis y volviéndolos a poner se nos queda como
0=1+(-1+1)+(-1+1)+(-1+1)+(-1+1)+(-1+1)+(-1+1)+...
y por tanto
0=1+0+0+0+0+0+0+...=1.
¿Saben donde falla?
La propiedad asociativa dice que
(a+b)+c=a+(b+c),
es decir, al sumar podemos agrupar los números como queramos.
Sin embargo esto lo podremos hace siempre que tengamos una cantidad finita de paréntesis, no se puede hacer con una cantidad infinita de estos y es ahí donde falla la demostración al pasar de
0=(1-1)+(1-1)+(1-1)+(1-1)+(1-1)+(1-1)+...
a
0=1+(-1+1)+(-1+1)+(-1+1)+(-1+1)+(-1+1)+(-1+1)+...
Como curiosidad comentar que aunque sea cierto que
a+b=b+a,
tampoco podemos cambiar el orden de infinitos números.
√
Sexta demostración.
Para entender esta demostración debes de saber integrar.
Vamos a ver en este caso que -1=0. Para empezar sabemos que
donde log(x) es el logaritmo neperiano de x.
Por otro lado podemos escribir
Vamos a resolver ahora la segunda integral.
Aplicando la fórmula de integración por partes
tomando
tenemos que
y por lo tanto
Como esta integral era la misma que la integral inicial, llegamos a la conclusión de que
y por lo tanto, restando log(x) obtenemos que
¿Saben dónde está el fallo ahora?
El fallo está en que una función no tiene una única primitiva (integral) sino que tiene infinitas. En los pasos anteriores hemos dicho que la integral de 1/x era log(x).
Esto es cierto a medias, ya que habrán muchas primitivas más que serán de la forma log(x)+K donde K es una constante.
Así que lo que hemos hecho en esta ocasión ha sido calcular una primitiva de dos formas distintas, y de hecho nos han salido 2 primitivas distintas que difieren en una constante.
Así que cuidado, 2 primitivas de una misma función no tienen por qué ser iguales.
Ese ha sido el fallo en esta ocasión.
