viernes, 3 de julio de 2015

Café matemático: Un par de problemas.


Primer problema
  1. Calcular la integral impropia \displaystyle{\int_0^1 \log x\, dx}.
  2. Demostrar que la integral impropia \displaystyle{\int_0^\pi \log(\sin x)\, dx} es convergente.
  3. Utilizar el cambio de variable x=2t para probar que
    \displaystyle{\int_0^\pi \log(\sin x)\, dx= 2 \int_0^{\pi/2} \log(\sin x)\, dx + 2\int_0^{\pi/2} \log(\cos x)\, dx +\pi \log 2.}
  4. Calcular la integral impropia \displaystyle{\int_0^{\pi/2} \log(\cos x)\, dx.}
Solución
Aplicando la fórmula de integración por partes con el esquema u=\log x, dv=dx resulta du = dx/x, v=x, luego \displaystyle{\int_0^1 \log x\, dx= \lim_{\varepsilon \rightarrow 0+} \int_\varepsilon^1 \log x\, dx= \lim_{\varepsilon \rightarrow 0+} [-\varepsilon \log \varepsilon -(1-\varepsilon)]=-1.}
El segundo apartado parece deducirse fácilmente del criterio de comparación directa, porque \log( \sin x) \leq \log x\;\;\forall x \in (0,1), pero esto es un error, porque ambas funciones son negativas en el intervalo (0,1). 
Sin embargo, \displaystyle{\lim_{x \rightarrow 0+} \frac{\log (\sin x)}{\log x}=1}, y entonces el criterio de comparación asintótica viene al rescate para concluir que \displaystyle{\int_0^1 \log(\sin x) \,dx \sim \int_0^1 \log x\, dx.}
El tercer apartado se resuelve practicando el cambio de variable x=2t,\;dx=2dt, de tal modo que \log (\sin 2t) = \log( 2 \sin t \cos t)= \log 2 + \log( \sin t) + \log ( \cos t), y por lo tanto
\displaystyle{\int_0^\pi \log(\sin x)\,dx=2 \int_0^{\pi/2}\log(\sin 2t)\,dt}= \pi \log 2 + 2 \int_0^{\pi/2} \log (\sin t)\,dt + 2 \int_0 ^{\pi/2} \log (\cos t)\,dt,
como queríamos demostrar.
Ahora observamos que, por razones de simetría, \displaystyle{\int_0^\pi \log (\sin x)\,dx = 2 \int_0^{\pi/2} \log (\sin x)\,dx,} de donde \displaystyle{0=\pi \log 2 + 2 \int_0 ^{\pi/2} \log (\cos t)\,dt, } y por lo tanto \displaystyle{\int_0 ^{\pi/2} \log (\cos t)\,dt=-\frac{\pi}{2 \log 2}. }
Segundo problema
  1. Probar que la serie de funciones \displaystyle{\sum_{n=1}^\infty \frac{nx}{1+n^4x^2}} converge puntualmente en la recta real hacia una función f, digamos.
  2. Demostrar que la convergencia es uniforme sobre el intervalo [\delta,\infty), donde \delta >0.Indicación: Hallar primero el máximo de \displaystyle{ \frac{nx}{1+n^4x^2}} sobre [0,\infty).
  3. Demostrar que \displaystyle{f(\frac{1}{N}) \geq \frac{N}{2} \cdot \sum_{n \geq \sqrt{N}} \frac{1}{n^3}} para cada N \in \mathbb{N}, y deducir que \displaystyle{f(\frac{1}{N}) \geq \frac{1}{4}.}Indicación: Estimar la suma mediante una integral impropia.
  4. Concluir que la serie de funciones no converge uniformemente en la recta real.
Solución
Si x=0 entonces todos los términos de la serie se anulan, y si x \neq 0 entonces se tiene
f(x):=\displaystyle{\sum_{n=1}^\infty \frac{nx}{1+n^4x^2} \sim \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^3}<\infty.}
Ahora observamos que \displaystyle{\frac{d}{dx}\left [ \frac{nx}{1+n^4x^2} \right ]=\frac{n(1-n^4x^2)}{(1+n^4x^2)^2}=0} cuando x=1/n^2.
 Sea \delta > 0 y sea n_0 \in \mathbb{N} tal que 1/n_0^2 < \delta. 
Sea \displaystyle{M_n:=\sup_{x \geq \delta}\frac{nx}{1+n^4x^2}.} 
Si n \geq n_0 entonces \displaystyle{M_n=\frac{n\delta }{1+n^4\delta^2},}luego \displaystyle{\sum_{n=1}^\infty M_n < \infty.} 
Se deduce de la prueba de mayoración de Weierstrass que la serie de funciones converge uniformemente en el intervalo [\delta, \infty).
A continuación tenemos
\displaystyle{f(\frac{1}{N}) = \sum_{n=1}^\infty \frac{n/N}{1+n^4/N^2}=N \cdot \sum_{n =1}^\infty \frac{n}{N^2+n^4} \geq N \cdot \sum_{n \geq \sqrt{N} }^\infty \frac{n}{N^2+n^4} \geq \frac{N}{2} \cdot \sum_{n \geq \sqrt{N} }^\infty \frac{1}{n^3}.}
Siguiendo la indicación, estimamos esta suma mediante una integral impropia, a saber,
\displaystyle{\sum_{n \geq \sqrt{N}}^\infty \frac{1}{n^3} \geq \int_{\sqrt{N}}^\infty \frac{dx}{x^3}=\frac{1}{2N},}
de donde se deduce que \displaystyle{f(\frac{1}{N}) \geq \frac{1}{4}.} 
Finalmente concluimos que la serie de funciones no converge uniformemente sobre la recta real, porque siendo cada término una función continua, bajo el supuesto de convergencia uniforme f debe ser una función continua, luego \displaystyle{f(0)=\lim_{N \rightarrow \infty} f(\frac{1}{N}),} lo cual es una contradicción puesto que f(0)=0.
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