Terence Tao aborda con éxito el problema de la discrepancia de Erdős basándose en una colaboración en línea.
Un misterio matemático, cuya solución se ha resistido durante 80 años – incluyendo los intentos de resolverlo usando ordenadores – parece hacer cedido ante un único matemático.
Terence Tao, matemático de la Universidad de California en Los Ángeles, y ganador de la Medalla Fields en 2006, envió un artículo1 al servidor de arXiv el 17 de septiembre afirmando demostrar una conjetura de la teoría de números propuesta por el matemático Paul Erdős en la década de 1930.
“Terry Tao ha soltado una bomba”, tuiteaba Derrick Stolee, matemático de la Universidad Estatal de Iowa en Ames, el día que apareció en línea el artículo que detallaba la solución.
Como muchos otros problemas de la teoría de números, el problema de la discrepancia de Erdős es fácil de enunciar, pero endemoniadamente difícil de demostrar. Erdős, que falleció en 1996, especuló que una secuencia infinita de números 1 y -1 podría sumar un valor arbitrariamente grande (positivo o negativo) contando sólo los números en un intervalo fijo durante un número finito de pasos.
Paul Erdös Crédito: Siegfried Woldhek
La tarea es intuitivamente sencilla para algunos conjuntos — contando los dígitos de cualquier intervalo en una secuencia que es todo unos, se sumará un número grande. Y en una secuencia de 1 y -1 alternos, elegir cada segundo dígito realizará esta tarea. Pero Erdős conjeturó que esto es cierto para cualquier secuencia.
La demostración de Tao ratifica que Erdős estaba en lo cierto: estas sumas pueden, de hecho, crecer de forma infinita para una secuencia arbitraria, aunque no proporciona una forma de calcular su valor para una instancia concreta.
Aunque la demostración no se pasado por una rigurosa revisión por pares, los expertos no expresaron dudas acerca de si superaría una revisión crítica. “Tengo una absoluta confianza”, señala Gil Kalai, matemático de la Universidad Hebrea en Jerusalén, Israel, añadiendo que espera que la revisión dure poco tiempo.
Comentario constructivo
La demostración de Tao llega tras años de intentos de resolución del problema, tanto manualmente como usando computadores. La campaña más reciente dio inicio en diciembre de 2009 y se cerró en 2010. El matemático Timothy Gowers de la Universidad de Cambridge en el Reino Unido, sugirió centrarse en el problema de Erdős para el quinto Proyecto PolyMath, una colaboración en línea de matemáticos que se centran en un único misterio matemático. Tao fue uno de las varias docenas de participantes.
El trabajo se cerró en 2012, pero expuso que demostrar la conjetura para cierta familia de secuencias era suficiente para la demostración general. Esta familia tenía 1 y -1 arbitrarios en los puntos de la secuencia correspondientes a números primos, mientras que los puntos no primos estaban determinados por la multiplicación de sus factores primos. Por ejemplo, el valor del punto quince es el producto de los puntos tercero y quinto.
En febrero de 2014, los investigadores presentaron una demostración por ordenador para un caso especial de la conjetura. Demostraba que siempre es posible encontrar una suma mayor que 2, pero no pudo demostrar que siempre hay una suma mayor de 3. La demostración de Tao especifica que siempre hay una suma mayor que cualquier número finito.
Nadie logró hacer grandes avances después de este ataque computacional. Tao había estado trabajando en un problema diferente a principios de este mes cuando un acertado comentarios en su blog le alertó de una potencial relación con la conjetura de Erdős. “A primera vista pensé que la conexión era simplemente superficial”, escribió Tao en un correo electrónico. Pero rápidamente se dio cuenta de que al combinar esta nueva visión con los resultados previos podría llevar a una solución. Envió sus artículos menos de dos semanas después, e incluyó un agradecimiento al comentarista, Uwe Stroinski, que logró su doctorado en matemáticas en la Universidad de Tübingen.
Tao envió su demostración a la revista de acceso abierto Discrete Analysis, dirigida por Gowers. La revista, que se fundó a principios de septiembre, proporciona la revisión por pares tradicional, pero dado que sólo acepta artículos que se hayan publicado previamente en arXiv, evita grandes costes de publicación. “La revista de Tim es un experimento prometedor en la publicación de acceso abierto”, señala Tao.
Erdős, que escribió una carta recomendando la admisión de Tao en la Universidad de Princeton, a menudo ofrecía premios en metálico para resolver los problemas que proponía. Fijó el premio para resolver el problema de la discrepancia en 500 dólares. Desde su muerte, otros han aceptado otorgar esos premios en su nombre.
Cuando se le preguntó si aceptaría el premio en caso de que alguien se lo ofreciera, Tao puso objeciones: “Es tradición no dar los premios en metálico que Erdős otorgaba mientras estaba vivo”, señala Tao. “La gente, normalmente, enmarca el cheque en lugar de cobrarlo”.
Referencias
Nature doi:10.1038/nature.2015.18441
1.- Preprint at http://arxiv.org/abs/1509.05363 (2015).
