martes, 1 de diciembre de 2015

La partícula relativista... Cuentos Cuánticos...

 En esta entrega nos entretendremos en estudiar cómo se determina el movimiento de una partícula relativista (con velocidades cercanas a la de la luz) y libre (no interactúa con otros sistemas).
Este sistema es interesante porque presenta algunas características que después volveremos a encontrar al estudiar cómo evoluciona una cuerda libre clásicamente.
Los objetivos de esta entrega:
–  Proponer una acción de la cual derivan las ecuaciones del movimiento para la partícula relativista.
– Derivar una función Lagrangiana para este sistema.
–  Dar distintas acciones para dicho sistema y mostrar que son equivalentes, es decir, contienen la misma información.

Descripción de la partícula puntual relativista

Estudiaremos el movimiento de un punto que se mueve a velocidades comparables a la velocidad de la luz (régimen relativista).  
Para ello emplearemos las coordenadas espaciotemporales:
X^\mu=(X^0,X^i)
– La coordenada X^0 será la coordenada de tipo temporal.
–  Las coordenadas X^i serán las coordenadas de tipo espacial.
  En tres dimensiones i toma los valores 1,2,3 y tenemos: 
 X^1=x, X^2=y, X^3=z.
Por razones obvias trabajaremos en un espaciotiempo de D dimensiones (número arbitrario por el momento, más adelante veremos como se fijan tales dimensiones en la teoría de cuerdas).
  Eso quiere decir que i tomará valores entre 1 y D-1.
> Cuando describimos la trayectoria de una partícula, sus coordenadas espaciotemporales vienen parametrizadas por \tau.  
Este parámetro conocido como el tiempo propio de la partícula (en caso de partículas con masa) nos da el tiempo medido por un reloj moviéndose solidariamente con la partícula (están en reposo relativo). 
 La trayectoria es una línea de una dimensión, por lo tanto puede ser parametrizada por un único parámetro \tau. 
 Si queremos saber las coordenadas espaciotemporales de cada punto de la trayectoria, dichas coordenadas serán función del parámetro:

X^\mu=X^\mu(\tau)

Métrica y Longitud

El objeto que nos permite estudiar las longitudes en el espaciotiempo es la métrica.  En este caso nos centramos en un espaciotiempo plano por lo tanto la métrica será de tipo Minkowski:
\eta_{\mu\nu}=diag(-1,1,1,\dots,1) en D dimensiones.
La longitud de un vector en el espaciotiempo (longitud invariante Lorentz) viene dada por:
(X^\mu)^2=\eta_{\mu\nu}X^\mu X^\nu = -(X^0)^2+(X^1)^2+\dots + (X^{D-1})^2
Si estamos interesados en distancias infinitesimales encontramos el intervalo invariante relativista:
ds^2=-\eta_{\mu\nu}dX^\mu dX^\nu
Donde hemos introducido un signo menos global para que las trayectorias tipo temporales nos den un valor real (estas son las trayectorias seguidas por las partículas con masa).
Por lo tanto tendremos: ds=\sqrt{-\eta_{\mu\nu}dX^\mu dX^\nu}

La acción para la partícula relativista

Tenemos que construir la acción para este bicho y queremos que la teoría respete la invariancia Lorentz.  
Así lo único que tenemos a mano en este sistema tan simple es el intervalo relativista.  Por tanto, la acción será:
S=-\alpha\int ds
Ejercicio propuesto:
Demuestra que \alpha está relacionada con la masa de la partícula. 
Ayuda:  Se puede hacer por análisis dimensional recordando que la acción tiene las mismas dimensiones que la constante de Planck y recordando que en un contexto de invariancia Lorentz hay una escala de velocidades dada por la velocidad de la luz.
Es decir, que podemos escribir:  S=-m\int ds
> Es importante poder escribir esta acción en términos de una función que dependa del parámetro de evolución, en nuestro caso \tau.  Así podremos identificar en el integrando la función Lagrangiana.
Mostremos como es posible eso:
1.- Partimos de la expresión original
S=-m \int ds = -m \int \sqrt{-\eta_{\mu\nu} dX^\mu dX^\nu}
2.- Está claro que dentro de la raíz podemos poner
 \left(\dfrac{d\tau}{d\tau}\right)^2(=1):
S=-m \int ds = -m \int \sqrt{-\eta_{\mu\nu}\left(\dfrac{d\tau}{d\tau}\right)^2 dX^\mu dX^\nu}
3.- Ahora sacamos el numerador fuera de la raíz y el denominador lo distribuimos con las coordenadas:
S=-m \int ds = -m \int d\tau \sqrt{-\eta_{\mu\nu}\dfrac{dX^\mu}{d\tau}\dfrac{ dX^\nu}{d\tau}}
4.- Está claro que acabamos de reexpresar la acción en términos de las velocidades de la partícula (vectores tangentes a su trayectoria) y el tiempo propio:
S=-m\int d\tau \sqrt{--\eta_{\mu\nu}\dot{X}^\mu \dot{X}^\nu}
La notación \dot{X}=\dfrac{dX}{d\tau}.
Por lo tanto la función Lagrangiana en este caso es: 
 L=-m\sqrt{-\eta_{\mu\nu}\dot{X}^\mu \dot{X}^\nu}. 
 Que se puede escribir de forma abreviada como: L=-m\sqrt{-\dot{X}^2}.
Con esto terminamos esta entrada relacionada con la partícula relativista. 
 En la siguiente trabajaremos otra acción alternativa y veremos si es o no equivalente a esta que acabamos de proponer (que es la más natural en este contexto).
La solución a los ejercicios se pondrán cada viernes.
Nos seguimos leyendo…
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