Resolución de la Conjetura de Reimann

Cada semana se publican nuevas “demostraciones” de la Conjetura de Riemann, por ejemplo, Pedro Geraldo, “The nontrivial zeros of the Zeta Function lie on the Critical Line,” ArXiv preprint, 15 Mar 2008, cuyo abstract reza “a characterization of the solutions of the equation: zeta(z) = 0 (…) is used to give a proof for Riemann is Conjecture”, o se realizan “grandes” avances hacia una demostración, por ejemplo, R. Acharya, “Realization of the Riemann Hypothesis via Coupling Constant Spectrum,” ArXiv preprint, 17 Mar 2008, cuyo abstract indica que “We present a Non-relativistic Quantum mechanical model, which exhibits the realization of Riemann Conjecture,” o también Stefano Beltraminelli, Danilo Merlini, Sergey Sekatskii, “A Hidden Symmetry Related to the Riemann Hypothesis with the Primes into the Critical Strip,” ArXiv preprint, 10 Mar 2008, que presentan “two new equivalent formulations of the Riemann Hypothesis (…) [using] a “hidden symmetry”, a global symmetry which connects the region outside the critical strip with that inside the critical strip.”

Sin embargo, el problema es extremadamente difícil y los avances en las “líneas oficiales” de ataque son lentos, o no tanto. El 12 de marzo de 2008, durante una conferencia en el American Institute of Mathematics (AIM), dos investigadores británicos exhibieron el primer ejemplo conocido de función L transcendente de tercer grado. Las funciones L de Dirichlet son generalizaciones de la función zeta de Riemann, que comparten con ella ciertas propiedades que permiten hablar de la Conjetura de Riemann Generalizada, aplicable a todas ellas, incluida la zeta de Riemann (conjetura desde 1859). Las funciones L pueden ser algebraicas, son fáciles de obtener, y transcendentes, objetos difíciles donde los haya. El postdoc Ce Bian y su director Andrew Booker, gracias al uso de ordenadores, más de 10 mil horas, es un “gran avance” en el campo de las funciones L de grado alto (hace 30 años se determinó la primera función L transcendente de segundo grado y algunos pensaban que la primera de tercer grado tardaría más en ser descubierta).

¿Cumple la nueva función L descubierta la conjetura de Riemann? Sus primeros ceros han sido calculados y parece que sí, pero se necesitan experimentos con ordenador intensivos para confirmar este resultado para, digamos, los primeros millones de ceros. Muchos ya están a la obra… Como dice Dorian Goldfeld, experto en teoría de números de la Universidad de Columbia, EEUU, “This discovery is analogous to finding planets in remote solar systems. We know they are out there, but the problem is to detect them and determine what they look like. It gives us a glimpse of new worlds.”

Las funciones L de Dirichlet comparten muchas propiedades con la función zeta de Riemann y se caracterizan por varios parámetros: el nivel, el grado y el parámetro de Langland. La zeta de Riemann tiene nivel 1, grado 1 y parámetro de Langland 0. Las funciones L son algebraicas si el parámetro de Langland es un número racional (cociente de enteros) o algebraico (raíz de un polinomio de coeficientes enteros), en otro caso, es transcendente.

Las funciones L aparecen en gran número de resultados en teoría de números, son el “Santo Grial” de esta rama de las matemáticas. Por poner sólo un ejemplo, la demostración de Andrew Wiles del Último Teorema de Fermat utiliza en uno de sus pasos cruciales que ciertas series de Dirichlet asociadas a curvas elípticas son de hecho funciones L algebraicas de grado 2.

Sin entrar en detalles técnicos, la Conjetura de Riemann nos indica cómo están distribuidos los números primos entre todos los números… Y parece tan simple.

Sigamos buscando su resolución….

Adolfocanals@educ.ar