En primer lugar, decir que un problema es irresoluble no tiene sentido si no se indica con qué medios o instrumentos, porque pudiera ocurrir que un problema que n tiene solución con ciertos recursos, la tenga con otros; y e segundo lugar, hay que distinguir entre la posibilidad y resolubilidad de un problema: un problema es posible cuando admite una solución, aunque ésta no se pueda obtener por medio de construcciones elementales, de modo que la resolubilidad es un concepto relativo porque, en sentido absoluto, todo problema posible es resoluble.
1) Duplicación del Cubo:
El de la duplicación del cubo tiene un origen fabuloso y constituye el tema de una carta de Eratóstenes al rey Ptolomeo, que dice así: “Cuéntase que uno de los antiguos poetas trágicos hacía aparecer en escena a Minos en el momento en que se construía la tumba de Glauco, y, al observar que sólo medía cien pies por cada lado, dijo: “Es un espacio muy pequeño para sepulcro de un rey; duplicaba conservando su forma cúbica, duplicando cada lado”. Es evidente que se equivocaba porque duplicando los lados de una figura plana se cuadruplica, mientras que una sólida se octuplica; y entonces, se propuso a los geometras la cuestión de duplicar una figura sólida dada conservando su forma, y este problema se llamó duplicación del cubo. Después de un largo período de incertidumbre, Hipócrates de Quío encontró que si entre dos rectas, una de las cuales es doble de la otra, se insertan dos medias en proporción continua, el cubo quedará doblado, con lo que no hizo sino transformar la dificultad en otra no menor. Se cuenta también que, más tarde, los de Delos, obligados por el oráculo a duplicar el altar, tropezaron con la misma dificultad y entonces enviaron embajadores a los geómetras que, con Platón, frecuentaban la Academia, para que resolvieran la cuestión. Se ocuparon de ella diligentemente y se dice que, al proponerse insertar dos medias entre dos rectas, lo consiguieron Arquitas de Tarento con el semicírculo y Eudoxio mediante ciertas curvas. A estos siguieron otros que se esforzaron por hacer más perfectas las demostraciones; pero no pudieron efectuar la construcción y acomodarla a la práctica, excepto, acaso, Menecmo, y cón gran trabajo”.
En este importante documento histórico, Eratóstenes se hace eco de dos fábulas: una toma como punto de partida la escena en que Eurípides hace cometer al legendario rey de Creta, ante la tumba de su hijo, el error de decir que duplicando la arista de un cubo se duplica su volumen, error que corrige Eratóstenes haciendo observar que duplicando los lados de una “figura plana” —el cuadrado— se cuadruplica [su área] (fig. 13) y haciendo lo mismo con una “sólida” —el cubo (fig. 14) se octuplica [su volumen]; y la otra leyenda alude a la orden de la pitonisa de Delos de duplicar el altar dedicado a Apolo para aplacar la ira de los dioses que habían desencadenado una epidemia en la isla.
1) Duplicación del Cubo:
El de la duplicación del cubo tiene un origen fabuloso y constituye el tema de una carta de Eratóstenes al rey Ptolomeo, que dice así: “Cuéntase que uno de los antiguos poetas trágicos hacía aparecer en escena a Minos en el momento en que se construía la tumba de Glauco, y, al observar que sólo medía cien pies por cada lado, dijo: “Es un espacio muy pequeño para sepulcro de un rey; duplicaba conservando su forma cúbica, duplicando cada lado”. Es evidente que se equivocaba porque duplicando los lados de una figura plana se cuadruplica, mientras que una sólida se octuplica; y entonces, se propuso a los geometras la cuestión de duplicar una figura sólida dada conservando su forma, y este problema se llamó duplicación del cubo. Después de un largo período de incertidumbre, Hipócrates de Quío encontró que si entre dos rectas, una de las cuales es doble de la otra, se insertan dos medias en proporción continua, el cubo quedará doblado, con lo que no hizo sino transformar la dificultad en otra no menor. Se cuenta también que, más tarde, los de Delos, obligados por el oráculo a duplicar el altar, tropezaron con la misma dificultad y entonces enviaron embajadores a los geómetras que, con Platón, frecuentaban la Academia, para que resolvieran la cuestión. Se ocuparon de ella diligentemente y se dice que, al proponerse insertar dos medias entre dos rectas, lo consiguieron Arquitas de Tarento con el semicírculo y Eudoxio mediante ciertas curvas. A estos siguieron otros que se esforzaron por hacer más perfectas las demostraciones; pero no pudieron efectuar la construcción y acomodarla a la práctica, excepto, acaso, Menecmo, y cón gran trabajo”.
En este importante documento histórico, Eratóstenes se hace eco de dos fábulas: una toma como punto de partida la escena en que Eurípides hace cometer al legendario rey de Creta, ante la tumba de su hijo, el error de decir que duplicando la arista de un cubo se duplica su volumen, error que corrige Eratóstenes haciendo observar que duplicando los lados de una “figura plana” —el cuadrado— se cuadruplica [su área] (fig. 13) y haciendo lo mismo con una “sólida” —el cubo (fig. 14) se octuplica [su volumen]; y la otra leyenda alude a la orden de la pitonisa de Delos de duplicar el altar dedicado a Apolo para aplacar la ira de los dioses que habían desencadenado una epidemia en la isla.
Es probable que el problema de duplicar el cubo, también llamado problema de Delos o problema délico, no fuera inspirado por la megalomanía de Minos ni por el oráculo de la sibila, sino por los propios geómetras puesto que sabiendo desde los tiempos de Pitágoras que el cuadrado construido sobre la diagonal de otro tiene doble área que éste (fig. 15), es decir: sabiendo duplicar el cuadrado mediante la construcción gráfica de la raíz cuadrada de 2 y guiados por su espíritu de generalización, parece natural que quisieran trasportar al espacio el mismo problema, lo que les llevó al de extraer la raíz cúbica de 2, y ante la imposibilidad de construir con la regla y el compás la arista de un cubo de doble volumen que otro, redujeron el problema a otro y, según Eratóstenes, fue Hipócrates de Quío el primero que lo intentó.
Sea de ello lo que fuere, es lo cierto que Hipócrates aparece en Atenas por los años de 430, y mientras gestionaba la reivindicación de sus derechos —en lo que están de acuerdo todos los eruditos, ya que no en la causa de la reivindicación— asistió a las lecciones de los filósofos y abrió una escuela de Geometría que fue la que echó las bases del método de reducción que, como hemos dicho antes, consiste en trasformar un problema en otro ya resuelto.
Es posible que tal procedimiento, que parece inseparable de la investigación matemática, hubiera sido empleado antes de Hipócrates, pero fue éste quien descubrió d trato lógico común a muchos métodos para resolver problemas y demostrar teoremas y quien lo aplicó cuestiones.
Conclusión:
Los problemas de duplicar el cubo y trisecar el ángulo, son problemas irracionales, es decir problemas cuyas soluciones son irracionales, y como dependen de ecuaciones de tercer grado no se pueden resolver con a regla y el compás por exigir construcciones en el espacio. La cuadratura del círculo es de otra naturaleza, pues depende del número PI que no puede ser solución de ninguna ecuación de coeficientes enteros, según demostró Lindemann el año 1882, y, por tanto, dicha cuadratura también es imposible con regla y compás. A pesar de que desde el año 1775 la Academia de Ciencias de París tomó el acuerdo —adoptado después por otras— de rechazar las pretendidas soluciones de estos tres problemas, siguen lloviendo sobre las corporaciones, científicas multitud de comunicaciones acerca de los mismos, que, naturalmente, van a parar al cesto de papeles sin ser leídas, y esto —que ya está divulgado hasta la saciedad en libros y revistas— no ha bastado, ni basta, ni bastará para curar la enfermedad que padecen los duplicadores, trisectores y cuadradores, a los que hay que añadir los “demostradores» del Postulado de Euclides, empeñados en no emplear más armas que las de los griegos antiguos porque ignoran la existencia de las bombas atómicas de la Matemática actual que han demostrado la insuficiencia de los primitivos artefactos bélicos. Ni qué decir tiene que la ignorancia de los duplicadores, trisectores, cuadradores y postuladores, va unida a una insigne pedantería que les inspira un olímpico desdén por quienes les aconsejan honestamente que se enteren de los trabajos hechos por sus predecesores para soslayar el peligro de descubrir Mediterráneos, porque todos ellos excepción— se creen genios desconocidos, y desde 1uego superiores al medio matemático de su época, y los más enterados se consideran en el caso de un Ruffini, que no con siguió que el Instituto de Francia examinara su demostración de la imposibilidad de resolver por radicales las ecuaciones algebraicas de grado superior al cuarto, o de un Grauss, que no quiso publicar sus investigaciones sobre las Geometrías no-euclídeas por temor al “clamoreo de los beocios”.
adolfocanals@educ.ar
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