Producir ondas.

Puntos uniformemente distribuidos en un dominio fundamental para SL(2,Z). Imagen cortesía de Fredrik Stromberg

En un seminario co-organizado por la Universidad de Stanford y el Instituto Americano de Matemáticas, Soundararajan anunció que él y Roman Holowinsky han demostrado una versión significativa de la conjetura de ergodicidad cuántica única (QUE). “Este es uno de lo mejores teoremas del año”, dijo Peter Sarnak, matemático de Princeton que junto con Zeev Rudnick de la Universidad de Tel Aviv formuló la conjetura hace quince años en un esfuerzo por comprender la conexión entre la física clásica y cuántica. “Estaba al tanto de que Soundararajan y Holowinsky estaban atacando a QUE usando distintas técnicas y quedé sorprendido al encontrar que los métodos se combinaban milagrosamente para resolver el problema por completo”, dijo Sarnak. Ambas aproximaciones proceden de la Teoría de Números, un área de matemáticas puras que se ha encontrado recientemente que tiene una sorprendente conexión con la física.

La motivación tras este problema es comprender cómo las ondas se ven influidas por la geometría que las encierra. Imagina las ondas de sonido en una sala de conciertos. En una sala de conciertos bien diseñada puedes oír cada nota desde cada asiento. Las ondas de sonido se dispersan de forma uniforme y equitativa. En el extremo opuesto están las “galerías de susurros” donde las ondas de sonido se concentran en un área pequeña.

El mundo matemático está poblado por todo tipo de formas, algunas de las cuales son fáciles de describir, como esferas y toros, y otros que se construyen a partir de la matemática abstracta. Todas estas formas tienen ondas asociadas a ellos. Soundararajan y Holowinsky demostraron que para ciertas formas que proceden de la Teoría de Números, las ondas siempre se dispersan de forma equitativa. Para estas formas no existen “galerías de susurros”.

Caos cuántico

La conjetura de ergodicidad cuántica única (QUE) procede de un área de la física conocida como “caos cuántico”. El objetivo del caos cuántico es comprender las relaciones entre la física clásica – las reglas que gobiernan el movimiento de los objetos macroscópicos como la gente y los planetas cuando su movimiento es caóticos, con la física cuántica – las reglas que gobiernan el mundo microscópico.

“El trabajo de Holowinsky y Soundararajan es brillante”, dijo el físico Jens Marklof de la Universidad de Bristol, “y nos dice cosas sobre el comportamiento de una partícula atrapada en la superficie modular de un potente campo magnético”.

Los problemas del caos cuántico pueden comprenderse en términos del billar. En una mesa de billar rectangular estándar, el movimiento de las bolas es predecible y fácilmente descriptible. Las cosas se hacen más interesantes si la mesa tiene los bordes curvos, conocido como “estadio”. Entonces resulta que la mayor parte de las rutas son caóticas y llenan la mesa de billar, un resultado demostrado por el físico matemático Leonid Bunimovich.

En la configuración cuántica o microscópica se investigan las ondas asociadas con la mesa de billar. Las ondas a menudo se dispersan de manera uniforme. A veces, no obstante, las ondas se concentran a lo largo de una ruta periódica inestable, como se muestra en el ejemplo de la izquierda. Los físicos conocen a esto como “cicatrizado”.

Para el sistema del estadio aún hay otra cosa interesante que puede tener lugar, conocida como el “modo de rebote de bolas”. Los modos de rebote de bolas se observaron de forma experimental y sólo se demostró su existencia gracias a Andrew Hassell.

En la conjetura QUE, Rudnick y Sarnak lanzaron la hipótesis de que para una gran clase de sistemas, al contrario que en el estadio, no hay cicatrices o estados de rebote de bolas, y que, de hecho, todos los estado están distribuidos equitativamente. El trabajo de Holowinsky y Soundararajan demuestra que la conjetura es cierta en la configuración de la Teoría de Números.

Estados altamente excitados

La conjetura de Rudnick y Sarnak trata con un cierto tipo de formas conocidas como colectores, o más técnicamente, colectores de curvatura negativa, algunos de los cuales proceden de problemas de aritmética superior. Las ondas correspondientes son análogas a los estados altamente excitados de la mecánica cuántica.

Soundararajan y Holowinsky desarrollaron cada uno técnicas para resolver un caso particular de QUE. Las “ondas” de esta configuración se conocen como eigenformas de Hecke holomórficas. Las aproximaciones de ambos investigadores funcionaron individualmente la mayor parte del tiempo y, milagrosamente, cuando las combinaron dieron la solución completa al problema. “Su trabajo es una maravillosa combinación de ideas de la física y la matemática abstracta”, dijo Brian Conrey, Director del Instituto Americano de Matemáticas.

De acuerdo con Lev Kaplan, físico de la Universidad de Tulane, “Este es un buen ejemplo de trabajo matemático inspirado por un interesante problema físico, y tiene relevancia para nuestra comprensión del comportamiento cuántico en sistemas dinámicos caóticos clásicos”.

Fuente:Kanija