¿1+1 es siempre 2?

Todo dependerá de como definamos el grupo abeliano en el que trabajemos. 

Efectivamente, para definir un grupo abeliano hace falta un conjunto de números y una operación suma.

 La típica suma que manejamos solo es una de las muchas posibilidades posibles. 

Así, podríamos definir un grupo que contuviese el conjunto de los números naturales

 y cuya operación suma fuese:

Dados dos números a y b: a+b=a+4b

                                                                                                                                                                                   

De manera que en este grupo abeliano en concreto la respuesta a 1+1 sería 5 xD