Hoy viene de números.

Cuadrado menos uno

9³ + 1³ + 9³ = 1459

1³ + 4³ + 5³ + 9³ = 919

El siguiente problema consiste en encontrar los dos únicos números de seis cifras que son iguales a un cuadrado menos uno, y en los la última mitad 

(los tres últimos dígitos tomados como un número de tres cifras) es el doble que la primera.

Es decir que se cumple:

abcdef = n²-1 
y abc = 2 x def 

Los dígitos abcdef no necesariamente deben ser todos diferentes.

Respuesta:

Sabemos que un número de seis cifras (N) se puede representar como

(1)N= 100000 a + 10000 b + 1000 c + 100 d + 10 e + f

además nos dicen :

(2) 200 a + 20 b + 2 c = 100 d + 10 e + f

Reemplazando en (1)

N= 100000 a + 10000 b + 1000 c + 200 a + 20 b + 2 c

N= 100200 a + 10020 b + 1002 c =1002 (100a +10b +c) = x¨2 -1 = (x-1)(x+1)

1002 (100a +10b +c) =(x-1)(x+1)

Como el número N esta entre 10000 y 999999, x estará entre las raíces cuadradas de estos dos números

316 < x < 1000 y además 1002 = 2 x 3 x 167 esto implica que 2,3 y 167 dividen a x+1 o a x-1

Pero x+1 y x+1 tienen la misma paridad por lo tanto deben ser ambos pares.

Entonces 2 x 167 = 334 divide a x+1 o a x-1 esto implica que 

x = 334k + 1 o x = 334k - 1 para cierto k. Como x está entre 316 y 1000 los valores posibles de

x son 335, 669, 333 y 667 

Ahora bien, 3 divide a x-1 o a x+1 por lo tanto no divide x, así que descartamos 333 y 669.

Si x = 667 N = 444888 = (667*667)-1

Si x = 335 N = 112224 = (335*335)-1