alquimiayciencias: La sucesión de Fibonacci.

Fibonacci

Hay una sucesión de números bastante conocida que es llamada de Sucesión de Fibonacci. Se popularizó mucho al aparecer en El Código Da Vinci, ya que eran los números que permitían abrir la caja fuerte de un banco, primer desafío con el que se encuentran los protagonistas. Esta sucesión también apareció en trabajos musicales, literarios y en otras películas, además de ser recurrente en la naturaleza, por ejemplo en la reproducción de parejas de conejos, la construcción de la colmena de las abejas o en el espiral de los caracoles. Es por todo esto que decidí dedicarle una pequeña revisión.

Leonardo de Pisa, también conocido como Fibonacci describió la sucesión como la solución a un problema de cría de conejos, en un libro publicado en el año 1202, como se describe a continuación:

“Cierto hombre tenía una pareja de conejos juntos en un lugar cerrado y uno desea saber cuántos son creados a partir de este par en un año cuando es su naturaleza parir otro par en un simple mes, y en el segundo mes los nacidos parir también”

Si bien Fibonacci fue uno de los primeros occidentales en escribir sobre esta sucesión de números, algunos matemáticos hindúes ya la habían descubierto. Un estudio más profundo de las propiedades (y el nombre) fue llevado a cabo por un matemático francés llamado Édouard Lucas, recién en la segunda mitad del siglo XIX. Es fácil ver que la cantidad de parejas de conejos aumenta siguiendo el siguiente patrón: 1, 1, 2, 3, 5, 8, … Se puede observar que cada término es la suma de los dos anteriores, por lo que denominando $f_n$ al término en la posición n-ésima se puede escribir la sucesión de la siguiente forma:

$f_{0} = 0$

$f_1 = 1$

$f_n=f_{n-1}+f_{n-2}$

Como vimos en el Quiz sobre los infinitos, esta sucesión puede ser puesta en relación “1 a 1″ con los naturales, por lo que obtenemos otra vez que la parte de un conjunto “es tan grande” cuanto el conjunto entero. Veamos ahora qué pasa con el cociente entre 2 números consecutivos a medida quen se hace más grande. Podemos tomar (donde para pasar a la segunda igualdad simplemente usamos la definición de la sucesión):

$\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{f_{n+1}}{f_n} = \lim_{n\to\infty}\frac{f_{n}+f_{n-1}}{f_n} = \lim_{n\to\infty}1+\frac{f_{n-1}}{f_n}$

Es fácil ver que

$displaystylelim_{ntoinfty}frac{f_{n+1}}{f_n} = lim_{ntoinfty}frac{f_{n}}{f_{n-1}}$

ya que básicamente se trata de la misma cuenta. No importa si nos movemos de n a n-1 porque de cualquier forma estamos calculando el valor de un cociente para valores muy grandes de n (justamente el límite cuando tiende a infinito.) Llamando $a$ a ese límite tenemos la siguiente ecuación: