hABlEMos dE SUSY...

Introducción a la supersimetría

Nivel: Doctorado de física teórica (o nivel avanzado de licenciatura)

Mucho se ha hablado de supercuerdas.

Esta palabra consta de dos partes.

La parte de "cuerdas" más o menos es algo que todo el mundo puede entender en el sentido de que todo el mundo tiene la idea intuitiva de lo que es una cuerda.

La parte "rara" es la de super.

El prefijo "super" se usó mucho en física en una época.

Los casos más destacados probablemente sean los superconductores y la supersimetría. Pese a la coincidencia en el nombre no tiene nada que ver uno con otro.

Vamos a ver, inevitablemente muy por encim,cómo avanza el tópico, qué es la supersimetría, SUSY para los amigos.

La motivación inicial para esta teoría provino del problema de la jerarquía.

¿Cuál es este problema?

En el marco de las teorías de gran vinificación, hay una gran diferencia de energía entre la escala de la ruptura de la simetría electrodébil y la de la de la ruptura de la teoría unificada(SU(5) o la que fuera).

Si uno se mete en los tecnicismos del mecanismo de Highs esto requiere un ajuste muy fino de parámetros. Y esto es algo que siempre desagrada.

Una forma de solventarlo es la existencia de cierto tipo de campos escalares de masa 0. Pero no hay ninguna buena razón para esto.

Lo que si hay es una buena razón para la existencia de fermiones quirales (o quasiquirales), el hecho de que se hayan observado (son los neutrinos).

Estos fermiones quirales tiene msa 0.

Si hubiera de algún modo una partícula de spin 0 ligada a ellos tendríamos resuelto el problema pues esa partícula debería tener masa 0.

Para esto uno busca que pueda existir una simetría que transforme bosones en fermiones, y viceversa. denotémosla por Q, i.e.

1.

Para ilustrar algunas propiedas clave de la supersimetría tomemos un ejemplo muy sencillo basado en un oscilador armonico cuántico que incluya bosones a y fermiones b, que satisfacen las relaciones de conmutación (y anticonmutación):

2.

Dónde, por si alguien no lo conoce {x,y}=x.y +y.x.

El hamiltoniano para este sistema es:

3.

Siendo un oscilador armónico sabemos cuál va a ser su energía:

4.

Dónde en el último paso hemos asumido que las w fermiónica y bosónica sean iguales.

Se puede ver fácilmente que que cada estado tiene una degeneran con el mismo número de grados de libertad bosónicos y fermiónicos.

Esto indica que debe haber algún tipo de (super)simetría en el hamiltoniano.

Y en efecto, uno puede comprobar que los operadores:

5.

conmutan con el hamiltniano, es decir:

6. [Q,H]=[Q⁺,H]=0

Obviamente los operadores Q y Q⁺ claramente intercambian un fermion por un bosón y viceversa.

Además tenemos que:

7. {Q,Q⁺}=2H

Pués bien, esta es la esencia de los operadores de SUSY expresados para un caso sencillo de mecáncia cuántica no relativista.

Pero claramente estamos intersados en mecánica cuántica relativista,

i.e. teoria de campos.

Dejaré para otra ocasión cómo se realiza el álgebra SUSY en teoria de campos.

Señalar solamente una caraterística específica de la SUSY no mencionada hasta ahora que tiene un cierto interés.

Desde que empezó a surgir el interés por las teorias gauge, puede que incluso antes, se planteó la cuestion de si habia alguna forma de tener un grupo que mezclara las simetrías internas con la simetria del grupo de Poincaré.

Coleman y Mandula en 1967 demostraron que bajo supuestos muy generales

esto era imposible.

Pués bien, la superismetría escapa este teorema "no-go" pués aparte del los generadores P_nu (momento lineal) y M_nu,mu (momento angular) y T_a (generadores del grupo gauge) incluye los generadores de la supersimetría.

De hecho estos estarán relacionados con el operador moento por la relacion:

8.

Por cierto, para los posibles lectores de exactas decir que en términos matemáticos la supersimetría tiene la estrucutra de una álgebra de Lie graduada.

Bien, este ha sido un primer contacto con la supersimetría.