“Todos los números están en Pi,”
Nos recuerda que todos los números naturales estarían contenidos
en la expresión decimal del número Pi,
que es un número irracional y trascendente, si fuera un número normal.
No se sabe si Pi es un número normal.
Más aún, si fuera cierto,
todo número natural estaría repetido en la expresión decimal de Pi infinitas veces.
Un número irracional es normal en base b si todos los números naturales escritos
en base b aparecen infinitas veces en su represenatación (con infinitos dígitos)
en base b (los matemáticos preferirán una definición más técnica).
Un número irracional es (absolutamente) normal si lo es en todas las posibles bases
b. Borel demostró en 1909 (la idea original es de 1898) que todo número irracional en [0,1]
(y por ende, todo número real irracional) es normal con probabilidad 1, es decir,
“lo normal es que un número irracional sea normal.”
Turing también lo demostró pero no lo publicó (se publicó en 1992).
El primer ejemplo explícito de número normal fue introducido por Sierpinski en 1916.
Obviamente, lo normal es que un número normal no sea computable
(como le ocurre a los números reales).
Que yo sepa el único número normal que se haya demostrado
que no es computable es la constante de Chaitin.
¿Es Pi un número normal en alguna base?
No se sabe.
Mucha gente cree que sí, pero hay que demostrarlo.
¿Por qué?
Porque a los matemáticos nos gusta demostrar estas cosas.
Sí, pero no.
Se ha demostrado que existen números irracionales (absolutamente) anormales.
El primero fue encontrado por Greg Martin, “Absolutely Abnormal Numbers,”
The American Mathematical Monthly 108: 746-754, 2001 (ArXiv preprint).
¿Podría ser Pi un número anormal?
Sí,
hasta que no se demuestre lo contrario (que es normal).
Los interesados en más información sobre constantes famosas que pueden
o no ser normales les recomiendo el artículo de David H. Bailey and Richard E. Crandall,
“On the Random Character of Fundamental Constant Expansions,”
Experimental Mathematics 10: 175-190, 2001.
Uno de los números normales (en base 10) más famosos es el de David Champernowne (1933), buen amigo de Alan Turing, que ves arriba
(que “Champ” publicó cuando era estudiante de matemáticas, antes de acabar la carrera).
Obviamente, demostrar que es un número normal es trivial en base 10, por construcción,
pero ¿es normal en otras bases?
Que yo sepa, nadie lo sabe aún, por cierto,
el número se ha demostrado que es irracional transcendente.
El genial Erdös, con Copeland, encontró un número normal
(en base 10, no se ha demostrado que sea absolutamente normal)
casi maravilloso, que también veis arriba (sus dígitos son los de los números primos).
En trabajos posteriores, Erdös demostró que las dos construcciones de más arriba
(las dos primeras líneas de la figura) con una función f que sea un polinomio también conduce a un número normal (en base 10).
Recientemente se ha demostrado cómo generalizar dicha demostración cuando f es una función entera (de orden logarítmico), en Manfred G. Madritsch, Jörg M. Thuswaldner, Robert F. Tichy, “Normality of numbers generated by the values of entire functions,” Journal of Number Theory 128: 1127-1145, May 2008 (copia gratis).
¿Qué pasaría si f fuera un algoritmo?
En dicho caso, Pi sería un número normal,
ya que podemos construir un algoritmo que calcule el n-ésimo dígito
de su desarrollo decimal (en cualquier base). No parece fácil seguir
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