alquimiayciencias: Las derivadas parciales mixtas de la función 1/r en coordenadas esféricas

Calcular las derivadas de una función puede parecer una operación sencilla y directa, pero muchas veces no lo es.

Como ejemplo presentaré el cálculo de las segundas derivadas mixtas

de la función $1/r$ en coordenadas esféricas, donde $r^2=x_1^2+x_2^2+x_3^2$ .

Sin utilizar el formalismo matemático de las funciones generalizadas

dicho cálculo no es posible, pero incluso esto no es suficiente,

además hay que utilizar la técnica de regularización (esférica en este caso).

Recordemos el valor del laplaciano aplicado a esta función

$\nabla^2 \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle r} =\left(\frac{\displaystyle \partial^2}{\displaystyle \partial x_1^2}+\frac{\displaystyle \partial^2}{\displaystyle \partial x_2^2}+\frac{\displaystyle \partial^2}{\displaystyle \partial x_3^2}\right) \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle r} = -4\pi \delta(r),$

donde $\delta(r)=\delta(x_1)\delta(x_2)\delta(x_3)$ es la delta de Dirac tridimensional.

¿Cuánto valen las segundas derivadas mixtas de la función $1/r$ ?

Puede parecer una pregunta obvia, pero no lo es.

Para ilustrarlo, calcularemos las segundas derivadas parciales

mixtas $\partial^2 \phi({ r})/\partial x_i\partial x_j$ de la siguiente función

$\phi({ r})=\int {\rm{d}}^3r'\, \frac{\displaystyle \rho({ r}')}{\displaystyle R}, \qquad R=|{ r}-{ r}'|,$

donde la función $\rho({ r})$ se comporta bien (es diferenciable) en el origen.

La manera correcta de calcular estas derivadas parciales es

$\frac{\displaystyle \partial^2 \phi({ r})}{\displaystyle \partial x_i\partial x_j} =\lim_{\epsilon\to 0} \int_{R>\epsilon}{\rm{d}}^3r'\, \rho({r}')\frac{\displaystyle\partial^2}{\displaystyle\partial x_i \partial x_j}\,\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle R}-\frac{\displaystyle 4\pi}{\displaystyle 3}\,\rho({ r})\delta_{ij},$

es decir,

$\frac{\displaystyle \partial^2 \phi({ r})}{\displaystyle \partial x_i\partial x_j} = \lim_{\epsilon\to 0} \int {\rm{d}}^3r'\,\rho({ r}')\frac{\displaystyle 3(x_i-x_i')(x_j-x_j')-R^2\delta_{ij}}{\displaystyle R^5}\,\Theta(R-\epsilon)-\frac{\displaystyle 4\pi}{\displaystyle 3}\,\rho({ r})\delta_{ij},$

donde $\Theta(\cdot)$ es la función escalón de Heaviside.

Esta expresión se puede escribir de forma compacta como

$\frac{\displaystyle \partial^2 \phi({ r})}{\displaystyle \partial x_i\partial x_j}=\int {\rm{d}}^3r' \rho({ r}')\frac{\displaystyle\bar{\partial}^2}{\displaystyle\partial x_i\partial x_j}\,\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle R},$

si se define

$\frac{\displaystyle \bar{\partial}^2}{\displaystyle \partial x_i\partial x_j}\,\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle R}\equiv \lim_{\epsilon\to 0}\frac{\displaystyle 3(x_i-x'_i)(x_j-x'_j)-R^2\delta_{ij}}{\displaystyle R^5}\, \Theta(R-\epsilon)-\frac{\displaystyle 4\pi}{\displaystyle 3}\,\delta({ r}-{ r}')\delta_{ij},$

en lugar de lo que uno obtendría derivando directamente

$\frac{\displaystyle \partial^2}{\displaystyle \partial x_i\partial x_j}\,\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle r} = \frac{\displaystyle 3x_ix_j-r^2\delta_{ij}}{\displaystyle r^5} -\frac{\displaystyle 4\pi}{\displaystyle 3}\,\delta( r)\delta_{ij}.$

Esta última expresión se dice que no está regularizada.

La regularización de la derivada de una función generalizada en varias dimensiones depende del tipo de coordenadas utilizadas y el resultado es diferente en coordenadas esféricas, cilíndricas, etc.

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lunes, 18 de abril de 2011

Las derivadas parciales mixtas de la función 1/r en coordenadas esféricas

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