lunes, 11 de abril de 2011

Numerología en acción: la predicción de la masa de quarks y leptones


Nadie sabe cuál es la masa de los quarks, ya que ningún quark puede ser observado de forma libre. 

Solo conocemos de forma precisa la masa del quark top (cima), 
ya que su gran masa hace que el error relativo en la medida permita un error absoluto pequeño.

 Sin embargo, muchos proclaman el descubrimiento de fórmulas matemáticas que permiten calcular la masa de todas (o casi todas) las partículas elementales (leptones y quarks). 

Quizás la más famosa de todas estas fórmulas es la de Koide (1981),

m_e + m_\mu + m_\tau = \frac{2}{3}(\sqrt{m_e} + \sqrt{m_\mu} + \sqrt{m_\tau})^2, \qquad m_\tau = 1776.97\,{\rm MeV},

que está justo en el borde de lo permitido por los límites actuales 
para la masa del tauón, que son

m_\tau = 1776.82 \pm 0.16 \, {\rm MeV}.

En 1992, Królikowski publicó la siguiente fórmula para calcular 
la masa de los leptones (electrón, muón y tauón),

m_N = \rho_N \,\theta\! \left(\!N^2 + \frac{\varepsilon -1}{N^2}\! \right) \,,

donde m_e \equiv m_1\;,\; m_\mu \equiv m_3\;,\; m_\tau \equiv m_5, \rho_1 = \frac{1}{29} \;,\; \rho_3 = \frac{4}{29} \;,\; \rho_5 = \frac{24}{29} 

y la fórmula tiene 

dos parámetros libres \{\theta, \varepsilon\}. 

Esta fórmula permite obtener

m_\tau = \frac{6}{125} \left(351m_\mu - 136 m_e\right) = 1776.80\;{\rm MeV},

valor que aún se encuentra bien centrado dentro de los márgenes
 de error experimentales. 

Para muchos será un gran logro (numerológico). 

Para otros pura casualidad (numerológica). 

Tres masas determinadas con dos parámetros. 

Una masa (del tauón) predicha usando dos masas conocidas
 (del eletrón y muón).

¿Se puede extender la fórmula de Królikowski a la masa de los quarks? 

Con solo dos parámetros es imposible recuperar valores razonables 
para las masas de los seis quarks (incluso teniendo en cuenta que la masa
 de los quarks más ligeros tiene una gran incertidumbre).

 Królikowski acaba de publicar un artículo en el que afirma que con seis parámetros, y la misma idea, sí es capaz de lograrlo (Wojciech Krolikowski (Universidad de Varsovia, Polonia), “Predictive empirical mass formula for up and down quarks of three generations,” ArXiv, 4 Nov. 2010).

 ¡Seis parámetros para determinar las seis masas de los seis quarks! Bueno, no nos alarmemos. 

Conjetura una relación que permite calcular con cinco parámetros
 las seis massas de los seis quarks.


La nueva fórmula para la masa de los quarks es


m^{(u,d)}_N = \rho_N \;\theta^{(u,d)} \left[N^2 + \frac{\displaystyle\varepsilon^{(u,d)}-1}{displaystyle N^2} - (4\pm \omega)(N-1) \right],

donde m_{u,d} \equiv m^{(u,d)}_1 \;,\; m_{c,s} \equiv m^{(u,d)}_3 \;,\; m_{t,b} \equiv m^{(u,d)}_5 \,. 

Estas fórmulas tienen seis parámetros para predecir las seis masas
 de los quarks, que son

m_{u,d} \!=\!\! \left\{ \begin{array}{rrrr}\!\!1.7\!\! & \!\!{\rm to}\!\! & \!\!3.3\!\! & \!\!{\rm MeV}\!\!\\ \!\! 4.1\!\! & \!\!{\rm to}\!\! & \!\!5.8\!\! & \!\!{\rm MeV}\!\! \end{array}\right. \!\!\rightarrow\!\! \left\{ \begin{array}{rr}\!\!2.5\!\! & \!\!{\rm MeV}\!\! \\5.0 \!\! & \!\!{\rm MeV}\!\! \end{array}\right.\,,
m_{c,s} \!=\!\! \left\{\begin{array}{lr}\!\!1.27^{+0.07}_{-0.09}\!\! & \!\!{\rm GeV}\!\! \\ \!\!101^{+29}_{-21}\!\!\!\!&\!\!\!\!{\rm MeV}\!\! \end{array}\right.\,,
m_{t,b} \!=\!\! \left\{\begin{array}{l}\!\!172.0\pm 2.2\;\, {\rm GeV}\!\! \\ \!\!4.19^{+0.18}_{-0.06}\;\,{\rm GeV}\!\! \end{array}\right..

¿Seis parámetros para predecir seis masas?


 Resulta que (quizás por casualidad) dos de los seis parámetros

 son casi iguales. 



Gracias a ello, Krolikowski conjetura que cinco parámetros permiten determinar las seis masas de los quarks.



 Podemos determinar la masa de un quark (cualquiera) a partir de la masa

 de los cinco restantes. 



Krolikowski elige la masa del quark extraño (¿ha probado con todos?

 o ¿elige éste porque es el quark en el que mejor “funciona” su conjetura?).



 Su fórmula para la masa del quark extraño es



m_s = \frac{\displaystyle 25\,(4+9\,\omega)\,m_b+24\,(108+41\,\omega)\,m_d}{\displaystyle 108\,(56 + 25\omega)} = 101\;{\rm MeV},

que es una buena aproximación al mejor valor experimental actual

m_s = 101^{+29}_{-12}\,{\rm MeV}..

Lo dicho.
Para muchos será un gran logro (numerológico). 
Para otros pura casualidad (numerológica).
 Para mí, una curiosa curiosidad que no me resisto a reportar.

Lo confieso, lo confieso, … hace años, jugando, desarrollé un programa en Mathematica para buscar automáticamente relaciones numerológicas aproximadas. 

Un completo fracaso.
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