Ecuaciones diferenciales NO homogénea

Problema:

 y" + 16.y = sin x.cos x

Cálculo de las raíces:

λ ² + 16 = 0 

λ ² = -16

La integral homogénea es:

y* = C₁.cos 4.x + C₂.sin 4.x

Cálculo de la integral particular:

y" + 16.y = sen x.cos x = 2.(sen x.cos x)/2 = (sen 2.x)/2

y = a.sen 2.x + b.cos 2.x

Sus derivadas son:

y´ = 2.a.cos 2.x - 2.b.sin 2.x

y" = -4.a.sin 2.x - 4.b.cos 2.x

debe verificar:

y" + 16.y = (sen 2.x)/2

-4.a.sen 2.x - 4.b.cos 2.x + 16.a.sen 2.x + 16.b.cos 2.x = (sen 2.x)/2

12.a.sen 2.x + 12.b.cos 2.x = (sen 2.x)/2

24.a.sen 2.x + 24.b.cos 2.x = sen 2.x

24.a = 1 

a = 1/24

24.b = 0 

b = 0

La integral particular es:

y = sin x/24

Luego la integral general es:

y_p = y* + y = C₁.cos 4.x + C₂.sen 4.x + (sen x)/24